МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 3 (1 октября 2011 года)

1.

Две телеги едут навстречу друг другу, одна — со скоростью 10 км/ч, а другая — со скоростью 15 км/ч. Когда между телегами было 50 км, с первой телеги слетела муха и полетела ко второй телеге. Долетев, она развернулась, долетела до первой телеги, снова развернулась и т.д. Какое расстояние пролетит муха до встречи телег, если ее скорость равна 20 км/ч?

2.

В урне лежат 35 белых и 35 чёрных шаров; у нас есть неограниченный запас чёрных шаров. Каждым ходом мы вынимаем из урны 2 шара. Если они разного цвета, мы возвращаем в урну белый шар, если одного — кладём туда чёрный. Понятно, что после 69 ходов в урне останется 1 шар. Можно ли однозначно определить, какого он цвета?

3.

а)

На столе лежали две новые колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды посчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (т. е. сколько карт между семёрками треф, между тузами бубен и т. д.). Чему равна сумма полученных 36 чисел?

б)

А если карты первой колоды перед этим переложили в обратном порядке?

в)

А если первую колоду перетасовали случайным образом?

* * *

4.

Число оканчивается на двойку. Если эту двойку переставить в начало, число удвоится. Приведите пример такого числа.

5.

В клетках доски 8×8 выписаны числа от 1 до 64 (в произвольном порядке). Докажите, что найдутся такие две соседние (т. е. имеющие общую сторону) клетки, что числа, записанные в них, отличаются не меньше, чем на 5.

Дополнительные задачи

6.

Несколько ящиков вместе весят 10 т, причем каждый из них весит не более 1 т. Какого наименьшего количества трёхтонных грузовиков наверняка хватит, чтобы увезти этот груз?

7.

Можно ли из пяти попарно различных квадратов сложить прямоугольник?