МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 14 (17 декабря 2011 года). Математическая драка

1.

Какое наибольшее количество слонов можно расставить на доске 4×4 так, чтобы каждый слон бил чётное число слонов? Нарисуйте, как это сделать.

2.

Сколько чисел от 1 до 1000 можно представить в виде суммы натурального числа, кратного 3 и натурального числа, кратного 4? (Натуральные числа — это 1, 2, 3, ..., 10, 11, и т.д.)

Ответ

Ответ. 991.

3.

По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили Ауди и БМВ. Оказалось, что как в 17:00, так и в 18:00 БМВ находился в два раза дальше от перекрестка, чем Ауди. В какое время Ауди мог проехать перекресток?

Ответ

Ответ. 17:15 и 17:45.

4.

Незнайка лжёт по понедельникам, вторникам и пятницам, а в остальные дни недели говорит правду. В какие дни недели Незнайка может сказать: „Я лгал позавчера и буду лгать послезавтра”?

Ответ

Ответ. Понедельник, вторник, среда, пятница, воскресенье.

5.

В деревне Большие Топоры живет 100 детей, а в деревне Средние Топоры — 60, между деревнями проложена прямая дорога длиной 6 км. Посередине между Большими Топорами и Средними расположена деревня Малые Топоры, в которой живет 20 детей. В каком месте нужно построить школу, чтобы суммарное расстояние, которые должны будут каждый день преодолевать школьники, было наименьшим? (В ответе укажите расстояние от школы до каждой из деревень.)

Ответ

Ответ. В деревне Большие Топоры. Расстояния: Б. Т. — 0, М. Т. — 3 км, С. Т. — 6 км.

6.

Сколько существует трёхзначных чисел, у которых сумма цифр больше произведения цифр?

Ответ

Ответ. 199.

7.

Грузчики Коля и Петя носят ящики. Переноска маленького ящика занимает у Пети 1 минуту, а у Коли 3 минуты. Зато большой ящик Коля переносит за 5 минут, а Петя — за 6. Всего им нужно перенести 10 больших и 10 маленьких ящиков. За какое наименьшее время они могут это сделать? (Нести несколько ящиков сразу нельзя, нести ящик вдвоём нельзя, меняться ящиками посередине пути — тоже нельзя.)

Ответ

Ответ. 33 минуты.

8.

Квадрат разрезали на 48 квадратиков со стороной 1 и один неединичный. Найдите площадь исходного квадрата.

Ответ

Ответ. 64 или 169.

9.

Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых хотя бы одна чётная цифра?

Ответ

Ответ. 9·10⁵ − 5⁶ = 884375.

10.

Каждый из 12 человек — рыцарь, всегда говорящий правду, или всегда лгущий лжец. Один из них сказал: „Число лжецов среди нас делится на 1”, второй: „Число лжецов среди нас делится на 2”, ..., 12-ый: „Число лжецов среди нас делится на 12”. Сколько среди них может быть рыцарей?

Ответ

Ответ. 3, 4, 12.

11.

Найдите наименьшее натуральное n такое, что все 73 дроби ¹⁹/_{(n + 21)}, ²⁰/_{(n + 22)}, ²¹/_{(n + 23)}, ..., ⁹¹/_{(n + 93)} несократимы.

Ответ

Ответ. 95.

12.

На Луне имеют хождение монеты достоинством в 1, 15 и 50 фертингов. Незнайка отдал за покупку несколько монет и получил сдачу — на одну монету больше. Какова наименьшая возможная цена покупки? Покажите, каким образом её можно получить.

13.

Найдите количество прямоугольников, составленных из клеток шахматной доски, которые содержат поле c4. (Одна клетка — это тоже прямоугольник.)

Ответ

Ответ. 360.

14.

На плоскости нарисовали три прямые. Прямые пересеклись в трёх точках A, B, C. Из образовавшихся углов выбрали три: один с вершиной в точке A, второй — с вершиной в точке B и третий — с вершиной в точке C. Известно, что два из выбранных углов равны 1° и 2°. Чему может быть равен третий угол?

Ответ

Ответ. 1, 3, 177, 179 градусов.

15.

Нарисуйте, как в центры 14 клеток шахматной доски 8×8 вбить гвозди так, чтобы никакие три гвоздя не лежали на одной прямой.

16.

От трёхзначного числа отняли сумму квадратов его цифр. Какой наибольший результат мог при этом получиться?

Ответ

Ответ. 844.

17.

Выписали все натуральные числа от 1 до 1000. На сколько среди них больше чисел с суммой цифр 14, чем с суммой цифр 13?

Ответ

Ответ. На 0 (их поровну).

18.

Бусы — это кольцо, на которое нанизаны бусины. Бусы можно поворачивать и переворачивать. Сколько различных бус можно составить из 10 одинаковых красных бусин и двух одинаковых синих бусин?

Ответ

Ответ. 6.

19.

Разбейте квадрат на треугольники так, чтобы каждый граничил ровно с тремя другими.

20.

В комнате дед, два отца, два сына и два внука (это дед, отцы, сыновья и внуки людей, находящихся в комнате). Сколько людей могло быть в комнате?

Ответ

Ответ. 4, 5, 6, 7.

21.

Разрежьте какой-нибудь квадрат на квадратики двух разных размеров так, чтобы маленьких было столько же, сколько и больших.

22.

Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в углах клеток, две медианы которого образуют угол в 45°.