МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководители Степан Львович Кузнецов и Сергей Александрович Дориченко
2011/2012 учебный год

Занятие 25 (21 апреля 2012 года). Лабиринт

В процессе игры «Лабиринт» школьнику нужно два раза обойти пять аудиторий, в каждой из которых предлагаются задачи на разные темы (геометрия, игры, комбинаторика, «логика», инвариант) — на первом круге попроще, на втором посложнее; предусмотрены также ещё более сложные дополнительные задачи. Если школьник не справился с задачей, он не может двигаться дальше по кругу прежде, чем посетит специальную аудиторию «Реанимация» и решит там простую задачу или головоломку.

Геометрия

1-й круг

1.

Можно ли квадратный лист бумаги 3×3 сложить так, чтобы после одного прямолинейного разреза он распался на квадраты 1×1?

2.

В неравнобедренном треугольнике длины всех сторон выражаются целым числом сантиметров. Каким, самое меньшее, может быть периметр такого треугольника?

3.

Пятиклассник Петя нарисовал 5 рисунков. На каждом рисунке он изобразил несколько прямых и отметил все их точки пересечения друг с другом. В результате на первом рисунке он отметил всего 1 точку, на втором — 2, на третьем — 3, на четвертом — 4 и на пятом — 5.

а): Приведите примеры таких рисунков.
б): Про какие из Петиных рисунков можно наверняка сказать, сколько на них проведено прямых?

4.

На середине ребра молочного пакета (в форме правильного тетраэдра, такие пакеты для молока были распространены в СССР) сидит паук, которому необходимо добраться до середины противоположного ребра. Как ему это сделать за наименьшее время?

2-й круг

1.: Точка M лежит внутри треугольника ABC. Сравните углы ABC и AMC.
2.: Квадрат 40×40 разбит на клетки 1×1. Какое наибольшее число клеток может разрезать прямая, пересекающая этот квадрат?
3.: Точка M лежит внутри треугольника ABC. Что больше: AM + MC или AB + BC?
4.: Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?
5.: Разрежьте остроугольный треугольник на три трапеции (подразумевается, что нужно уметь резать всякий остроугольный треугольник, а не один конкретный).

Дополнительные задачи

1.: Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O, причем ∠AOC = 60°. Докажите, что AC + BD ≥ 1.
2.: В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника). Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.
3.: На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек. Докажите, что на окружности найдется такая точка, для которой сумма расстояний от неё до всех отмеченных точек будет не меньше 100.
4.: Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет большую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся.
5.: На плоскости даны n красных и n синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.

Игры

В этих задачах, если явно ничего не спрашивается, требуется указать выигрывающую стратегию для одного из игроков.

1-й круг

1.: На доске 4×4 в левом нижнем углу стоит король. Его по очереди двигают двое, причем разрешены только ходы вверх, вправо и вверх-вправо. Проигрывает тот, кто не сможет сходить.
2.: Есть 30 камней. Два игрока по очереди берут от 1 до 10 камней. Выигрывает тот, кто берёт последний камень.
3.: Двое по очереди ломают шоколадку 6×8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.
4.: Имеется две кучки камней по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.
5.: Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Игроки по очереди расставляют между ними плюсы и минусы. После того, как все места заполнены, подсчитываем результат. Если он чётен, то выигрывает первый игрок, если нечётен, то второй.

2-й круг

1.: Есть две кучки камней: в одной 25, в другой 30 камней. Можно или взять сколько угодно камней из одной кучки, или равное число камней из обеих кучек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
2.: На окружности есть 20 точек. Два игрока по очереди соединяют две точки отрезком, причём нельзя пересекать уже проведённые отрезки. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.
3.: Двое по очереди ставят шахматных слонов в клетки доски 8×8 так, чтобы слоны не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает?
4.: В игре «Кто первым назовёт число 100» участвуют двое. Один называет любое целое число от 1 до 9 включительно. Второй прибавляет к названному числу любое целое число от 1 до 9 и называет сумму. К этой сумме первый снова добавляет любое целое число от 1 до 9, и называет новую сумму. Выигрывает тот, кто назовёт число 100.
5.: Два игрока по очереди проводят прямые на плоскости. Каждый делает по 4 хода. Первый игрок выигрывает, если эти прямые разбивают плоскость на чётное число частей, а второй — если на нечётное.

Дополнительные задачи

1.: Играют двое. В начале игры есть одна палочка. Первый игрок ломает эту палочку на две части. Далее игроки по очереди ломают на две части любую палочку из имеющихся к данному моменту. Если, сломав палочку, игрок может сложить из всех имеющихся палочек один или несколько отдельных треугольников (каждый — ровно из трёх палочек), то он выиграл. Кто из игроков (первый или второй) может обеспечить себе победу независимо от действий другого игрока?
2.: У Коли и Оли есть по верёвке. Сначала Коля разрезает свою верёвку на три части, затем Оля разрезает на три части свою. Если из полученных шести кусков два треугольника (каждый кусок — сторона треугольника), то выигрывает Оля, иначе — Коля.

Комбинаторика

1-й круг

1.: На плоскости дано n точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?
2.: На столе лежат 5 яблок и 4 груши. Сколькими способами можно взять два разных фрукта?
3.: Сколькими способами можно раскрасить грани тетраэдра (треугольной пирамиды) в четыре цвета? (Тетраэдр разрешается поворачивать.)
4.: Бусы — это кольцо, на которое нанизаны бусины. Сколько различных бус можно составить из 10 одинаковых красных бусин и двух одинаковых синих бусин?
5.: Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?

2-й круг

1.: Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева — не пятёрка?
2.: Сколько существует 10-значных чисел, в которых имеется хотя бы 2 одинаковые цифры?
3.: Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых хотя бы одна четная цифра?
4.: Сколькими способами можно раскрасить грани куба в 6 цветов?
5.: Сколькими способами можно разложить 9 орехов по трём карманам? (Карманы разные, а орехи одинаковые.)

Дополнительная задача

: Сколько существует шестизначных чисел, у которых каждая последующая цифра меньше предыдущей?

«Логика»

1-й круг

1.: Пять первоклассников стояли в шеренгу и держали 37 флажков. У всех справа от Таты — 14 флажков, справа от Яши — 32, справа от Веры — 20, справа от Максима — 8. Сколько флажков у Даши?
2.: В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?
3.: Учитель задал замысловатую задачу. В результате количество мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равным количеству девочек, ее не решивших. Кого в классе больше — решивших задачу или девочек?
4.: Является ли старейший шахматист среди музыкантов старейшим музыкантом среди шахматистов? Является ли лучший шахматист среди музыкантов лучшим музыкантом среди шахматистов?
5.: Назовём занятие Малого Мехмата лёгким, если в каждой аудитории найдётся человек, который решил все задачи. Сформулируйте определение сложного занятия.
6.: Один из попугаев А, В и С всегда говорит правду, другой всегда врёт, а третий хитрец — иногда говорит правду, иногда врёт. На вопрос «Кто В?» они ответили:
А: — Лжец.
В: — Я хитрец!
С: — Абсолютно честный попугай.
Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?
7.: Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

2-й круг

1.: 12 кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: «До меня соврали один раз». Другой сказал: «А теперь — дважды». «А теперь — трижды», — сказал третий, и так далее до 12-го, который сказал: «А теперь соврали 12 раз». Тут ведущий прервал дискуссию. Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же всего раз соврали кандидаты?
2.: Есть 100 коробок, пронумерованных числами от 1 до 100. В одной коробке лежит приз и ведущий знает, где он находится. Зритель может послать ведущему пачку записок с вопросами, требующими ответа «да» или «нет». Ведущий перемешивает записки в пачке и, не оглашая вслух вопросов, честно отвечает на каждый из них. Какое количество записок нужно послать, чтобы наверняка узнать, где находится приз?
3.: Юра, Лёша и Миша коллекционируют марки. Количество марок, которых нет у Лёши, меньше, чем количество марок, которые есть и у Юры, и у Лёши. Точно так же, число Лёшиных марок, которых нет у Миши, меньше, чем число марок, которые есть и у Лёши и у Миши. А число Мишиных марок, которых нет у Юры, меньше, чем число марок, которые есть и у Юры и у Миши. Докажите, что какая-то марка есть у каждого из трех мальчиков.

Дополнительные задачи

1.: В магазине есть 3 компьютера: американский, который всегда отвечает правду, китайский, который всегда врёт, и русский, который отвечает что попало. Перед покупкой разрешается задать один вопрос любому одному компьютеру. Можно ли задать такой вопрос, чтобы обязательно купить а) не китайский; б) не русский компьютер?
2.: Часть жителей некого острова всегда говорят правду, остальные — всегда лгут. Путешественник, оказавшийся на острове, в совершенстве владеет языком островитян, только не помнит, какое из двух слов «пиш» и «таш» означает «да», а какое — «нет». Путешественник дошёл до места, где дорога раздваивалась, причём одна из дорог ведёт в деревню, а другая — в болото. На распутье он встретил аборигена. Сможет ли путешественник, задав всего один вопрос (предполагающий ответ «да» или «нет», т. е. «пиш» или «таш»), узнать, какая из двух дорог ведёт в деревню?

Инварианты

1-й круг

1.: В языке Древнего Племени алфавит состоит всего из двух букв: «М» и «О». Два слова являются синонимами, если одно из другого можно получить при помощи исключения или добавления буквосочетаний «МО» и «ООММ», повторяемых в любом порядке и любом количестве. Являются ли синонимами в языке Древнего Племени слова «ОММ» и «МОО»?
2.: Можно ли мышкой обойти доску 5×7 без центральной клетки? В каждой клетке доски нужно побывать ровно по одному разу, передвигать мышку можно только в соседнюю по стороне клетку.
3.: На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a + b − 1. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

2-й круг

1.: На столе лежит куча из 637 ракушек. Из нее убирают одну ракушку и кучу делят на две (не обязательно поровну). Затем из какой-нибудь кучи, содержащей больше одной ракушки, снова убирают одну ракушку и снова кучу делят на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех ракушек? Если можно, то сколько нужно для этого сделать ходов и сколько куч получится?
2.: На доске написаны числа 30 и 44. За один ход игрок дописывает ещё одно натуральное число — разность (положительную) любых двух, уже написанных, если она ещё не встречалась. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
3.: В 50 коробках лежат 100 конфет. Девочка и мальчик берут поочерёдно по конфете, начинает девочка. Может ли мальчик добиться того, чтобы последние две конфеты лежали в одной коробке?

Дополнительные задачи

1.: В каждой из n стран правит либо партия правых, либо партия левых. Каждый год в одной из стран A может поменяться власть. Это может произойти в том случае, если в большинстве граничащих со страной А стран правит не та партия, которая правит в стране А. Докажите, что смены правительств не могут продолжаться бесконечно.
2.: Можно ли доску размерами 4 × N обойти ходом коня, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернуться на исходное поле?
3.: Дан выпуклый 2m-угольник A₁...A_2m. Внутри его взята точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей. Докажите, что точка P принадлежит чётному числу треугольников с вершинами в точках A₁,…, A_2m.

«Реанимация»

1.: Какие из приведённых слов имеют ось симметрии: ТОПОТ, СОН, СЕНО, ВЕС, ТОН, ЭХО, СОСНА, СОК?
2.: В одном литре воды содержится 0,00001 миллиграммов золота. Сколько килограммов золота содержится в 1 км³ морской воды?
3.: Маша нарисовала на экране компьютера букву Ы, а потом нажала последовательно три кнопки: «повернуть на 90° по часовой стрелке», «заменить на зеркальное изображение» и «повернуть на 180°». Какую картинку она увидит?
4.: Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?
5.: Пять мальчиков нашли 9 грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли равное количество грибов.
6.: Докажите, что произведение любых трёх подряд идущих натуральных чисел делится на 6.
7.: Замените в записи 645*485* звёздочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 15.
8.: Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10?
9.: За сутки до дождя Петин кот всегда чихает. Сегодня кот чихнул. «Завтра будет дождь», — подумал Петя. Прав ли он?
10.: Что больше: ²⁰¹⁰/₂₀₁₁ или ²⁰¹¹/₂₀₁₂?
11.: У Кости есть 10 палочек длиной 50 см. Он хочет распилить их так, чтобы получилось 50 палочек длиной 10 см. Сколько распилов ему придется сделать?
12.: Разрежьте прямоугольник 3×9 на восемь квадратов.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!