МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 9 (12 ноября 2011 года). Разрезания и замощения

1.

Разрежьте каждую из фигур, изображённых на рисунке, на две равные части.

2.

На рисунке изображена «капелька» из двух полуокружностей радиуса 1 и одной радиуса 2. Разрежьте эту фигуру на а) две; б) три равные части. в) На сколько равных частей можно разрезать эту фигуру?

3.

С помощью каждой из фигур, изображённых на рисунке, замостите плоскость (то есть покройте всю плоскость копиями каждой фигуры, без дырок и наложений).

4.

Можно ли замостить плоскость копиями а) какого-нибудь выпуклого пятиугольника; б) какого-нибудь 25-угольника?

5.

Замостите плоскость а) копиями произвольного треугольника; б) копиями произвольного четырёхугольника.

6.

а)

Из прямоугольников размером 1×3 клеток составили прямоугольник. Докажите, что хотя бы одна из длин его сторон кратна 3.

б)

Из прямоугольников размером 1×6 клеток составили прямоугольник. Верно ли, что хотя бы одна из длин его сторон кратна 6?

7.

а)

На какое наибольшее число частей можно разрезать блин тремя взмахами ножа?

б)

А на какое наибольшее число частей можно теми же тремя разрезами разделить каравай?

Дополнительные задачи

8.

Разделите прямоугольник на 18 прямоугольников так, чтобы никакие два соседних не образовывали прямоугольника.

9.

На какое наибольшее число частей можно разрезать а) блин; б) каравай четырьмя разрезами?