МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 12 (3 декабря 2011 года). Раскраска-2

1.

Шахматный конь погулял по шахматной доске и вернулся на исходное поле. Какое количество ходов он мог совершить?

2.

Два коня, белый и чёрный, играют друг с другом на шахматной доске. Выигрывает тот, кто съест противника. В начале игры белый конь стоит на поле a1, а чёрный — на поле b1. Первым ходит белый конь. Докажите, что чёрный конь не сможет выиграть, даже если белый будет ему поддаваться.

3.

Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что три кузнечика никогда не смогут оказаться на одной прямой, параллельной стороне квадрата.

4.

Играют в «Морской бой» на поле 10×10. Известно, что на нём как-то расположен один четырехпалубный корабль. Какое наименьшее количество выстрелов необходимо произвести, чтобы наверняка его задеть?

* * *

5.

Какое наибольшее количество прямоугольников 1×4 можно вырезать из квадрата 10×10? (Разрезы проводятся про сторонам клеток.)

6.

На бесконечной клетчатой бумаге отметили 400 клеток. Докажите, что из них можно выбрать 100 клеток так, чтобы они не имели между собой общих точек.

7.

На шахматной доске 8×8 двое сыграли в «Морской бой» не по правилам: один расставил 21 трёхпалубный корабль, а второй выстрелил один раз и не попал. Куда он мог выстрелить? (Укажите все возможные варианты.)

* * *

8.

Докажите, что шахматную доску нельзя замостить пятнадцатью фигурками 1×4 и одним уголком из четырёх клеток.

9.

На каждой клетке доски размером 9×9 сидит жук. По свистку каждый из жуков переползает в одну из соседних по диагонали клеток. При этом в некоторых клетках может оказаться больше одного жука, а некоторые клетки окажутся незанятыми. Докажите, что при этом незанятых клеток будет не меньше девяти.

10.

В какое наибольшее число цветов можно раскрасить шахматную доску 8×8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками своего цвета? (Каждая клетка закрашивается целиком в один цвет.)