МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 14 (18 февраля 2017 года). Геометрические места точек-2

1.

Найдите множество середин хорд, проходящих через заданную точку внутри окружности.

2.

Дан треугольник \(ABC\). Найдите множество точек \(M\) таких, что площади треугольников \(AMB\) и \(BMC\) равны.

3.

Через данную точку на плоскости проводятся всевозможные прямые, пересекающие данную окружность. Найти геометрическое место середин получившихся хорд.

4.

Даны две прямые, пересекающиеся в точке \(O\). Найдите ГМТ \(X\), для которых сумма длин проекций отрезков \(OX\) на эти прямые постоянна.

5.

На плоскости даны точки \(A\) и \(B\). Найдите геометрическое место точек \(M\), удалённых от \(A\) вдвое больше, чем от \(B\).

6.

Найдите геометрическое место точек, из которых проведены касательные к данной окружности, равные заданному отрезку.

7.

Даны две точки \(A\) и \(B\). Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки \(A\) на прямые, проходящие через точку \(B\).

8.

Найдите геометрическое место точек \(M\), лежащих внутри ромба \(ABCD\) и обладающих тем свойством, что \[ \angle AMD + \angle BMC = 180^\circ.\]