МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 4 (15 октября 2016 года). Инвариант

1.

В вершинах шестиугольника записаны числа 12, 1, 10, 6, 8, 3 (именно в таком порядке). За один ход разрешено выбрать две соседние вершины и к числам, стоящим в данных вершинах, одновременно прибавить единицу или одновременно вычесть из них единицу. Можно ли получить в итоге шесть чисел в таком порядке:

а)

14, 6, 13, 4, 5, 2;

б)

6, 17, 14, 3, 15, 2?

2.

На доске записано число. Если в нём нет повторяющихся цифр, то его умножают на два, иначе из него вычитают двойку. Изначально на доске написана единица. Докажите, что в какой-то момент числа начнут повторяться

3.

Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1×4 и 2×2. Плитки высыпали из коробки и одна плитка 2×2 потерялась. Ее заменили на плитку 1×4. Можно ли теперь замостить дно коробки?

4.

Можно ли разрезать выпуклый 17-угольник на 14 треугольников?

5.

Вася придумал правило делимости на 2 в пятеричной системе счисления: если сумма цифр делится на два, то и само число делится на два. Работает ли это правило?

6.

На доске написано число 8ⁿ. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если n = 2016?

7.

В таблице 3×3 одна из угловых клеток закрашена чёрным цветом, все остальные — белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.