МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 3 (8 октябрят 2016 года)

1.

Разрежьте шестиугольник, изображённый на рисунке, на четыре равные фигуры по линиям сетки. Фигуры считаются равными, если их (возможно, перевернув), можно в точности наложить одну на другую.

2.

Квадрат 3×3 заполнен цифрами так, как показано на рисунке. Разрешается ходить по клеткам этого квадрата, переходя из клетки в соседнюю по стороне, но ни в какую клетку не разрешается попадать дважды.

Если пройти так, как показано на правом рисунке, и выписать по порядку все цифры, встретившиеся по пути, то получится число 84937561. Какое наибольшее число можно получить таким способом?

3.

Миша написал на доске в некотором порядке 100 плюсов и 99 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причем если он стер одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?

4.

Дан куб 6×6×6. Найдите максимально возможное число параллелепипедов 4×1×1 (со сторонами параллельными сторонам куба), которые можно поместить в этот куб без пересечений.

5.

Из шахматной доски (размером 8×8) вырезали центральный квадрат размером 2×2. Можно ли оставшуюся часть доски разрезать на равные фигурки в виде буквы «Г», состоящие из четырёх клеток?

6.

Из доски 7×7 вырезали одну клетку так, что получившуюся доску можно разрезать на прямоугольники 1×3. Какая это могла быть клетка?

7.

Каждая из расположенных по кругу 12 ламп может находиться в одном из двух состояний: гореть или не гореть. За один ход можно изменить состояние любых трех ламп, расположенных подряд. Вначале горит только одна лампа. Можно ли добиться того, чтобы горели все 12 ламп?