МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 7 (12 ноября 2016 года). Математические бильярды. Часть 1

Вводные задачи

1.

Стекло машины закрыто не до конца. Гусенице надо проползти из точки A на этом стекле с внутренней стороны в точку B на этом стекле с внешней стороны. Помогите ей найти кратчайший путь.

2.

Полуостров представляет собой острый угол внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя по самому короткому пути?

3.

Ровно в полдень две мухи сели на минутную и часовую стрелки часов. Всякий раз, когда минутная стрелка обгоняла часовую, мухи менялись местами. Сколько кругов проехала каждая муха, если ровно в полночь они улетели?

Основные задачи

4.

На горизонтальном отрезке длины l находятся несколько абсолютно одинаковых точечных шариков (то есть размерами шариков можно пренебречь), два из которых изначально расположены ровно на концах отрезка.

В начальный момент времени все шарики движутся либо вправо либо влево с одинаковой для всех шариков скоростью v, причем два крайних шарика катятся к центру отрезка. Через какое время все шарики упадут с отрезка, если считать, что удары шариков абсолютно упругие (при соударении меня- ется только направление скорости)?

5.

Рассмотрим острый угол α и точечный шар внутри него, положение которого задано углом γ (см. рисунок). Чему должен быть равен угол β, чтобы после двух соударений со сторонами угла шар прошёл через точку старта?

6.

Найдите какую-нибудь периодическую траекторию шарика в правильном треугольнике.

7.

Задано положение шара на прямоугольном столе. В каком направлении следует его пустить, чтобы один раз ударившись о борт, он попал в заданную угловую лузу?

8.

На столе стоят два шара: черный и белый. Как нужно ударить по черному шару, чтобы он сначала столкнулся с отрезком AB, после чего с отрезком BC, а следом за этим столкнулся с белым шаром?