МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 13 (11 февраля 2017 года). Геометрические места точек

1.

Постройте на плоскости \(Oxy\) множества точек, удовлетворяющих следующим соотношениям:

а)

\(\dfrac{x}{|x|}=\dfrac{y}{|y|}\).

б)

\(\displaystyle\left|\frac{x}{y}\right|\le1\).

в)

\(|y+1|\le2\).

г)

\(|x+1|+|y+1|\le3\).

д)

\(|x-y|+|x-1|\ge1\).

2.

На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения: \(y^2 - |y| = x^2 - |x|\).

3.

Дана функция \(f(x) = | 4 - 4|x|| - 2\). Сколько решений имеет уравнение \(f(f(x)) = x\)?

4.

Найдите наименьшее значение \(x^2 + y^2\), если \(x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0\).

5.

На плоскости расположены две параболы так, что их оси взаимно перпендикулярны, а сами параболы пересекаются в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

6.

Параллельные прямые, заданные уравнениями \(y=kx+b\) и \(y=kx+a\) пересекают параболу \(y=px^2\) в точках \(A\), \(B\) и \(C\), \(D\) соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AB и CD, параллельна оси параболы.

7.

Пользуясь утверждением предыдущей задачи, решите следующую: На координатной плоскости \(Oxy\) построена парабола \(y = x^2\). Затем начало координат и оси стёрли. Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?