МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 8 (19 ноября 2016 года). Принцесса или тигр?

В одной сказочной стране жил король, к дочерям которого постоянно сватались принцы из соседних государств. Для того чтобы не выдавать своих дочерей за кого попало, король выдумал такое испытание: принцу нужно было угадать, в какой из комнат находится принцесса, а в какой — тигр. Если угадает, то женится на принцессе, а если нет — то его (скорее всего) растерзает тигр. На дверях комнат король вешал таблички со странными утверждениями и давал каждому принцу какую-нибудь подсказку, чтобы тот, если не дурак, смог бы определить, в какой из комнат заперта принцесса.

Во всех задачах этого листочка вам предстоит оказаться на месте принца и отыскать принцессу. Вам даны надписи на табличках, а также условия короля, верны надписи на табличках или нет. При этом не исключено, что в обеих комнатах находятся принцессы, или что в обеих — тигры (если явно не указано иное).

1.

Условие: одна из надписей верна, а другая — нет.

I В этой комнате находится принцесса, а в другой сидит тигр.

II В одной из этих комнат находится принцесса, а в другой сидит тигр.

2.

Условие: надписи одновременно либо обе истинны, либо обе ложны.

I Хотя бы в одной из комнат сидит тигр.

II Принцесса в другой комнате.

3.

Условие: если в левой комнате находится принцесса, то утверждение на табличке истинно, а если тигр — ложно. Для правой комнаты всё наоборот.

I В обеих комнатах находятся принцессы.

II В обеих комнатах находятся принцессы.

4.

Условие: то же, что и в задаче 3. Но таблички только что изготовили и не успели повесить на двери, поэтому неизвестно, какая из табличек на какой двери должна висеть.

В этой комнате сидит тигр.

В обеих комнатах сидят тигры.

5.

Теперь комнат 3, в одной из них сидит принцесса, а в двух других — тигры. Известно, что верных табличек на дверях не более одной.

I В этой комнате сидит тигр.

II В этой комнате находится принцесса.

III Тигр сидит в комнате II.

6.

В этой задаче снова 3 комнаты, при этом в одной из них находится принцесса, в другой — тигр, а третья комната пуста. При этом надпись на двери комнаты, в которой находится принцесса, истинна, надпись на двери, за которой сидит тигр — ложна, а то, что написано на табличке у пустой комнаты, может оказаться как истинным, так и ложным. Задание то же самое: определить, где находится принцесса.

I Комната III пуста.

II Тигр сидит в комнате I.

III Эта комната пуста.

Дополнительная задача

7.

В этой задаче целых 9 комнат! При этом только в одной из комнат находится принцесса, в остальных же восьми — либо тигр, либо там вообще никого нет. Условия те же самые, что в задаче 6: надпись на двери комнаты, в которой находится принцесса, истинна, надпись на двери, за которой сидит тигр — ложна, а то, что написано на табличке у пустой комнаты, может оказаться как истинным, так и ложным.

I Принцесса находится в комнате с нечётным номером.		II Эта комната пуста.		III Либо утверждение V истинно, либо утверждение VII ложно.
IV Утверждение I ложно.		V Утверждение II или утверждение IV истинно.		VI Утверждение III ложно.
VII В комнате I принцессы нет.		VIII В этой комнате сидит тигр, а комната IX пуста.		IX В этой комнате сидит тигр, а утверждение VI ложно.

Принц возмутился, что задача неразрешима. Король согласился с ним, но рассказал принцу, пуста комната VIII или нет. После этого принц догадался, где принцесса. Догадайтесь и вы.