МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Руководитель Любовь Сергеевна Шатина
2014/2015 учебный год

Версия для печати

Занятие 23 (11 апреля 2015 года). Геометрические задачи с решением в одну строчку

Смотри и увидишь!

Пример 1. Найдите площадь (в клеточках) многоугольника, изображённого на рисунке слева.

Пример 2. ABCD — параллелограмм, M и N — середины AD и DC соответственно. Докажите, что прямые AN, CM, BD пересекаются в одной точке.

Разминка. Где находится центр вписанной в треугольник окружности? А центр описанной около треугольника окружности?


1.
Можно ли правильный шестиугольник разрезать на а) 3; б) 4; в) 6 одинаковых частей?
2.
В ΔABC биссектрисы BB1 и CC1 пересекаются в точке M. В ΔAB1C1 биссектрисы B1B2 и C1C2 пересекаются в точке N. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.
3.
Куб сложен из 27 одинаковых кубиков. Сравните площадь поверхности этого куба и площадь поверхности многогранника, который получится, если из него выкинуть все «угловые» кубики.
4.
Бумажный прямоугольный треугольник ABC перегнули по прямой так, что вершина C прямого угла совместилась с вершиной B и получился четырёхугольник. В каких отношениях точка пересечения диагоналей четырёхугольника делит эти диагонали?
5.
Сравните площади двух капелек на рисунке. Все окружности одного радиуса, треугольник правильный и построен на диаметре.
6.
В ΔABC отрезки BD и BE делят на три равные части угол B, а CD и CE делят на три равные части угол C. Пусть E — точка, расположенная ближе к стороне BC. На сколько могут отличаться углы BDE и EDC?
7.
В шестиугольнике ABCDEF AB = BC, CD = DE, EF = FA. Докажите, что биссектрисы углов B, D, F пересекаются в одной точке.
8.
Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на рисунке.
9.
Найдите сумму величин углов MAN, MBN, MCN, MDN и MEN, нарисованных на клетчатой бумаге так, как показано на рисунке.
10.
Докажите, что три прямые, проведённые через середины сторон треугольника параллельно биссектрисам противолежащих углов, пересекаются в одной точке.
11.
Докажите, что в любом треугольнике высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.
12.
Пусть Oa, Ob и Oc — центры описанных окружностей треугольников PBC, PCA и PAB. Докажите, что если точки Oa и Ob лежат на прямых PA и PB, то точка Oc лежит на прямой PC.
13.
Деревянный брусок тремя распилами распилили на восемь меньших брусков. На рисунке у семи брусков указана их площадь поверхности. Какова площадь поверхности невидимого бруска?
14.
а)
Разбейте правильный тетраэдр на 2; 3; 6 равных тетраэдров.
б)
Разбейте правильный тетраэдр на 4 равных тетраэдра двумя различными способами.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS