МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 23 (11 апреля 2015 года). Геометрические задачи с решением в одну строчку

Смотри и увидишь!

Пример 1. Найдите площадь (в клеточках) многоугольника, изображённого на рисунке слева.

Пример 2. ABCD — параллелограмм, M и N — середины AD и DC соответственно. Докажите, что прямые AN, CM, BD пересекаются в одной точке.

Разминка. Где находится центр вписанной в треугольник окружности? А центр описанной около треугольника окружности?

1.

Можно ли правильный шестиугольник разрезать на а) 3; б) 4; в) 6 одинаковых частей?

2.

В ΔABC биссектрисы BB₁ и CC₁ пересекаются в точке M. В ΔAB₁C₁ биссектрисы B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в точке N. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.

3.

Куб сложен из 27 одинаковых кубиков. Сравните площадь поверхности этого куба и площадь поверхности многогранника, который получится, если из него выкинуть все «угловые» кубики.

4.

Бумажный прямоугольный треугольник ABC перегнули по прямой так, что вершина C прямого угла совместилась с вершиной B и получился четырёхугольник. В каких отношениях точка пересечения диагоналей четырёхугольника делит эти диагонали?

5.

Сравните площади двух капелек на рисунке. Все окружности одного радиуса, треугольник правильный и построен на диаметре.

6.

В ΔABC отрезки BD и BE делят на три равные части угол B, а CD и CE делят на три равные части угол C. Пусть E — точка, расположенная ближе к стороне BC. На сколько могут отличаться углы BDE и EDC?

7.

В шестиугольнике ABCDEF AB = BC, CD = DE, EF = FA. Докажите, что биссектрисы углов B, D, F пересекаются в одной точке.

8.

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на рисунке.

9.

Найдите сумму величин углов MAN, MBN, MCN, MDN и MEN, нарисованных на клетчатой бумаге так, как показано на рисунке.

10.

Докажите, что три прямые, проведённые через середины сторон треугольника параллельно биссектрисам противолежащих углов, пересекаются в одной точке.

11.

Докажите, что в любом треугольнике высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

12.

Пусть O_a, O_b и O_c — центры описанных окружностей треугольников PBC, PCA и PAB. Докажите, что если точки O_a и O_b лежат на прямых PA и PB, то точка O_c лежит на прямой PC.

13.

Деревянный брусок тремя распилами распилили на восемь меньших брусков. На рисунке у семи брусков указана их площадь поверхности. Какова площадь поверхности невидимого бруска?

14.

а)

Разбейте правильный тетраэдр на 2; 3; 6 равных тетраэдров.

б)

Разбейте правильный тетраэдр на 4 равных тетраэдра двумя различными способами.