МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Руководитель Любовь Сергеевна Шатина
2014/2015 учебный год

Версия для печати

Занятие 21 (28 марта 2015 года). Двойка, её оттенки и степени

1.
На какую цифру оканчивается 2100?
2.
Найдите остаток от деления 2100 на 3.
3.
Что больше и на сколько: 2100 или 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 299?
4.
Впишите в пять кружков натуральные числа так, чтобы выполнялись два условия:
  • если два кружка соединены линией, то стоящие в них числа должны отличаться ровно в два или ровно в четыре раза;
  • если два кружка не соединены линией, то отношение стоящих в них чисел не должно быть равно ни 2, ни 4.
5.
На столе стоят восемь стаканов с водой. Разрешается взять любые два стакана и уравнять в них количества воды, перелив часть воды из одного стакана в другой. Докажите, что с помощью таких операций можно добиться того, чтобы во всех стаканах было поровну воды.
6.
Числа 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и 512 расставьте в клетках таблицы 3×3 так, чтобы произведения по всем вертикалям, горизонталям и обеим главным диагоналям были равны.
7.
Обезьяна хочет узнать, из окна какого самого низкого этажа 15-этажного дома нужно бросить кокосовый орех, чтобы он разбился. У неё есть 2 ореха. Какого наименьшего числа бросков ей заведомо хватит? (Возможно, и при падении с 15-го этажа орех не разбивается. Неразбившийся орех можно бросать снова.)
8.
Сначала на экране калькулятора появилось число 1. Раз в секунду калькулятор находит какое-нибудь целое неотрицательное k такое, что число на экране делится на 2k, и меняет число на экране, прибавляя к нему любое число от 1 до (k + 1). Незнайка полагает, что любая степень двойки рано или поздно появится на экране. Прав ли Незнайка?
9.
Разрежьте по клеточкам квадрат 7×7 на девять прямоугольников (не обязательно различных), из которых можно будет сложить любой прямоугольник со сторонами, не превосходящими 7.
10.
Докажите, что для любого натурального n существует n-значное число, кратное 2n, составленное из единиц и двоек (например, 112 кратно 2³, 2112 кратно 24).

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS