МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Руководитель Любовь Сергеевна Шатина
2014/2015 учебный год

Версия для печати

Занятие 5 (18 октября 2014 года). Кролики в клетках

1.
В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?
2.
Может ли так случиться, что в компании из пяти человек у всех разное число знакомых? (Отношение знакомства взаимно).
3.
Катя загадала три цифры — x, y и z и предложила Пете их отгадать, задав ровно один вопрос. Петя назвал три числа a, b и c и спросил, чему равно ax + by + cz. Какие числа он назвал, если он смог дать верный ответ сразу после ответа Кати?
4.
В кинотеатре 7 рядов по 10 мест каждый. Группа из 50 детей сходила на утренний сеанс, потом на вечерний. Докажите, что найдутся двое детей, которые на утреннем сеансе сидели в одном ряду и на вечернем тоже сидели в одном ряду.
5.
Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?
6.
Разрежьте квадрат 5×5 с вырезанной центральной клеткой по линиям клеток на четыре равные части.
7.
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено пять точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0.5.
8.
На всех ребрах куба стоит по числу. На каждой грани (квадрате) пишется сумма четырех чисел, расположенных на ее ребрах (сторонах квадрата). Можно ли расставить числа 1 и −1 на ребрах так, чтобы все числа на гранях были различны?
9.
Дано 8 различных натуральных чисел, не больших 15. Докажите, что среди их положительных попарных разностей есть три одинаковых.
10.
В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных две партии: одну партию белыми фигурами, другую — чёрными. По окончании турнира оказалось, что все участники набрали одинаковое число очков (за победу дается 1 очко, за ничью — 1/2 очка, за поражение — 0 очков). Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS