МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 2 (27 сентября 2014 года)

1.

То да это да половина того да этого — сколько это будет процентов от трёх четвертей того да этого?

2.

а)

Разделите невыпуклый четырехугольник на пять частей, проведя всего лишь две прямые.

б)

А можно ли разделить четырёхугольник двумя прямыми на шесть частей?

3.

а)

Имеются песочные часы: одни на 7 минут, а другие на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

б)

Возможно, при решении задачи из п. а) Вам понадобилось сначала потратить какое-то время, чтобы подготовить часы. Можете ли Вы сварить яйцо, потратив всего 15 минут?

4.

Двое бегут с разной скоростью вниз по эскалатору метро. Кто из них насчитает больше ступенек — тот кто бежит быстрее, или тот кто бежит медленнее?

5.

Играют двое. На столе лежит 18 конфет. За ход можно взять 1 или 2 конфеты. Проигрывает тот, кому нечего взять. Может ли один из игроков играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл другой?

6.

Стальную плитку размерами 96×19 см обвели карандашом на бумаге. Найдите центр получившегося прямоугольника, имея в распоряжении только эту плитку и карандаш.

Дополнительные задачи

1.

Квадрат 8×8 сложен из доминошек 1×2. Докажите, что какие-то две из них образуют квадрат 2×2.

2.

Можно ли поставить на плоскости 100 точек (сначала первую, потом вторую и так далее до сотой) так, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой и чтобы в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных точек, имела ось симметрии?

3.

Каждую грань кубика поделили на 4 квадрата, а потом раскрасили тремя красками всю поверхность кубика так, что каждый квадрат покрашен только одной краской, и квадраты одинакового цвета не имеют общих сторон. Докажите, что квадратиков каждого цвета — ровно 8.