МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Руководители Дмитрий Владимирович Трущин и Михаил Владимирович Шеблаев
2012/2013 учебный год

Круги Эйлера (9 марта 2013 года)

Понять, что такое круги Эйлера, можно, решив несколько задач. Каждый круг Эйлера обозначает множество объектов (то есть набор каких-либо объектов, заданный так, что про вообще любой объект можно однозначно определить, есть он в этом наборе, или нет), а точка — один объект. Точка рисуется внутри круга, если объект принадлежит этому множеству, а иначе — снаружи круга.

В случае, если объект принадлежит сразу нескольким множествам (то есть лежит в пересечении множеств), обозначающая его точка находится в пересечении соответствующих этим множествам кругов (то есть в каждом из них).

Если объект принадлежит хотя бы одному из нескольких множеств, то говорят, что он принадлежит их объединению. Применительно к кругам Эйлера это означает, что точка лежит хотя бы в одном из кругов, соответствующих этим множествам.

Объект лежит в разности двух множеств, если он лежит в первом из них, но не лежит во втором.

Чтобы не рисовать точки, часто просто пишут их количество в соответствующих частях кругов.

1.: На доске нарисованы два круга, внутри которых отмечено несколько точек. Внутри первго из них всего 190 отмеченных точек. Внутри второго — всего 230 отмеченные точки. Внутри обоих кругов одновременно находится ровно 70 точек. А сколько отмеченных точек всего?
Решение

Решение.

Сложим количества точек в обоих кругах. При этом точки, находящиеся в их пересечении (то есть и в первом, и во втором), будут посчитаны дважды, то есть лишний раз, поэтому от суммы нужно отнять число точек в пересечении. Теперь получим тот же ответ с помощью математических обозначений.

Введём обозначения:
a — количество точек, лежащих только в первом круге;
b — только во втором круге;
c — в их пересечении.

Тогда в первом круге всего a + c точек, а во втором — c + b. Нужно найти общее число точек. В наших обозначениях это a + c + b. Чтобы можно было вычислить это выражение, его нужно записать только через известные величины a + c = 190, c + b = 230, c = 70. В искомом выражении есть a и b, которые в известных встречаются только в a + c и b + c соответственно. Значит, a + c и b + c нужно включить в запись. Однако (a + c) + (b + c) не равно a + c + b. Чтобы сравнять их, нужно отнять c. Таким образом, получаем формулу для решения задачи, в которую остаётся только подставить конкретные числа:
a + c + b = (a + c) + (b + c) − c = 190 + 230 − 70 = 350.
2.: Восьмого марта в кино пришло 100 ребят. На приключенческий фильм было продано 87 билетов, а на комедию — 63. Сколько ребят посмотрели и тот фильм, и другой? (Каждый посмотрел по меньшей мере один из фильмов.)
Указание Указание 2 Ответ

Указание. Эту и последующие задачи можно решить с помощью кругов Эйлера, подобных тем, что были в первой задаче. Обозначьте ребят точками, одним из кругов — множество ребят, купивших билеты на приключенческий фильм, а вторым кругом — множество купивших билеты на комедию. В пересечении кругов будут находится точки, соответствующие ребятам, купившим билеты на оба фильма, в объединении — всем ребятам (потому что все купили хотя бы по одному билету), а точки, лежащие только в одном из кругов — купившим только по одному билету.

Указание 2. Задача аналогична предыдущей: два круга — фильмы, точки — ребята. Сложим количества точек в обоих кругах. Получим общее число точек (оно дано) плюс посчитанное лишний раз число точек в пересечении кругов которое и требовалось найти.

Ответ. 50
3.: В кондитерском отделе супермаркета посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет. В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет?
Ответ

Ответ. 81
4.: В классе 29 человек. 15 из них занимаются в музыкальном кружке, 21 — в математическом. Сколько человек посещают оба кружка, если известно, что только Вовочка не ходит ни в один из двух кружков?
Указание Ответ

Указание. Вовочку можно обозначить точкой, лежащей за пределами обоих кругов, а значит, задача решается так же, как если бы в классе было 28 человек.

Ответ. 8
5.: Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде — 28, на роликах — 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах — 10, на сноуборде и на роликах — 5, а на всех трех — 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах? (В число умеющих кататься на сноуборде включены те, кто умеет кататься ещё на чём-либо, и так далее).
Указание Указание 2 Ответ

Указание. Для иллюстрации этой задачи нужны 3 круга Эйлера; нужно найти число точек вне их всех (поскольку количество всех точек известно — всего ребят 100, то достаточно найти число точек в кругах). По сколько раз будут посчитаны точки, находящиеся в пересечении двух кругов? А трёх?

Указание 2.

Ответ. 20
Примечание: способ решения этой задачи представляет собой частный случай формулы включений-исключений для трёх множеств.
6.: Во дворе стоят машины. Некоторые из них — москвичи, а остальные — жигули. Некоторые из машин красные, а остальные белые. Некоторые из машин новые, а остальные — старые. Известно, что красных москвичей — 3, новых москвичей — 4, а новых красных машин — 5. При этом старых белых москвичей — 2, новых белых жигулей — 1, а старых красных москвичей вообще ни одного. Сколько во дворе новых красных москвичей, если всего машин 21, а старых белых жигулей — 6?
Указание Ответ Решение

Указание. Часть условия этой задачи — лишняя.

Ответ. 3

Решение. По условию, красных москвичей 3. В их число входят новые красные москвичи (число которых и нужно найти) и старые красные москвичи (по условию, их ни одного). Значит, новых красных москвичей столько же, сколько красных москвичей вообще, то есть 3.
7.: Сколько существует целых положительных чисел, меньших 100, которые:
а) делятся и на 2, и на 3;
б) делятся на 2, но не на 3;
в) делятся на 3, но не на 2;
г) делятся на 3 или на 2;
д) не делятся ни на 2, ни на 3?
Указание Указание 2 Ответ

Указание.
а) Все числа, делящиеся и на 2, и на 3, делятся на 6. Докажем это. По определению, делимость числа x на 6 означает, что x : 6 — некоторое целое число (обозначим его a), то есть что x = 6·a, где a — целое число. Аналогично, делимость на 2 означают представимость в виде x = 2·b, где b — целое, а на 3 — в виде x = 2·c с целым c. Итак, пусть x = 2·b. Так как x делится ещё и на 3, то 2·b тоже делится на 3, а раз 2 на 3 не делится, то делиться на 3 должно b, то есть b = 3·d, где d — целое. Итак, x = 2·3·d = 6·d, то есть любой x, делящийся и на 2, и на 3, делится и на 6. Значит, все нужные нам числа находятся среди делящихся на 6.
Но вдруг среди делящихся на 6 будут лишние (не делящиеся на 2 или на 3 или и на 2, и на 3 одновременно)? Докажем, что все числа, делящиеся на 6, также делятся и на 2, и на 3. Пусть x = 6·a, то есть x делится на 6. Так как 6 = 2·3, то x = 2·(3·a). Так как a — целое, то и 3·a тоже целое, а значит, x = 2·b, где b = 3·a, то есть x подходит под определение числа, делящегося на 2. Аналогично, x = 3·c, где c = 2·a, то есть x делится и на 3.
Итак, число делится и на 2, и на 3 тогда и только тогда, когда оно делится на 6. Осталось найти количество натуральных чисел, меньших 100, делящихся на 6.

Указание 2.
а) Поскольку на 6 делится каждое шестое число, то число таких чисел равно частному от деления с остатком 100 на 6 = 16 (отметим, что если бы 100 делилось на 6, то таким образом было бы найдено число таких чисел, меньших либо равных 100).

б) Нужно от числа всех делящихся на 2 (в этом промежутке) отнять число делящихся и на 2, и на 3 (уже посчитано). Останется количество чисел, делящихся на 2, но не на 3. В терминах кругов это точки, лежащие в одном круге (все, делящиеся на 2), но не лежащие во втором (делящиеся и на 2, и на 3), при этом второй круг находится полностью внутри первого, а известно количество всех точек и количество точек, лежащих во втором круге. В терминах множеств это обозначает разность множеств.

г) Первый круг обозначает точки, делящиеся на 2, а второй — на 3. Точки, лежащие в их пересечении — числа, делящиеся и на 2, и на 3 сразу (то есть делящиеся на 6). Нужно найти общее количество точек в обоих кругах, то есть в объединении множеств.

д) Количество таких чисел равно количеству всех натуральных чисел, меньших 100, минус число чисел, не удовлетворяющих условию (делящихся на 2 или на 3). Это дополнение к множеству чисел, рассматриваемому в предыдущем пункте.

Ответ. а) 16;
б) 33;
в) 17;
г) 66;
д) 34.


	МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА НАША КОМАНДА О КРУЖКАХ РАСПИСАНИЕ ВОПРОС-ОТВЕТ ЛЕКЦИИ МАТЕРИАЛЫ ЗАНЯТИЙ 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс Перечневые олимпиады 2-3 уровень АРХИВ МАЛЫЙ МЕХМАТ — ШКОЛЕ ЛИТЕРАТУРА ССЫЛКИ	Кружок 5 класса Руководители Дмитрий Владимирович Трущин и Михаил Владимирович Шеблаев 2012/2013 учебный год Круги Эйлера (9 марта 2013 года) Понять, что такое круги Эйлера, можно, решив несколько задач. Каждый круг Эйлера обозначает множество объектов (то есть набор каких-либо объектов, заданный так, что про вообще любой объект можно однозначно определить, есть он в этом наборе, или нет), а точка — один объект. Точка рисуется внутри круга, если объект принадлежит этому множеству, а иначе — снаружи круга. В случае, если объект принадлежит сразу нескольким множествам (то есть лежит в пересечении множеств), обозначающая его точка находится в пересечении соответствующих этим множествам кругов (то есть в каждом из них). Если объект принадлежит хотя бы одному из нескольких множеств, то говорят, что он принадлежит их объединению. Применительно к кругам Эйлера это означает, что точка лежит хотя бы в одном из кругов, соответствующих этим множествам. Объект лежит в разности двух множеств, если он лежит в первом из них, но не лежит во втором. Чтобы не рисовать точки, часто просто пишут их количество в соответствующих частях кругов. 1. На доске нарисованы два круга, внутри которых отмечено несколько точек. Внутри первго из них всего 190 отмеченных точек. Внутри второго — всего 230 отмеченные точки. Внутри обоих кругов одновременно находится ровно 70 точек. А сколько отмеченных точек всего? Решение Решение. Сложим количества точек в обоих кругах. При этом точки, находящиеся в их пересечении (то есть и в первом, и во втором), будут посчитаны дважды, то есть лишний раз, поэтому от суммы нужно отнять число точек в пересечении. Теперь получим тот же ответ с помощью математических обозначений. Введём обозначения: `a` — количество точек, лежащих только в первом круге; `b` — только во втором круге; `c` — в их пересечении. Тогда в первом круге всего `a` + `c` точек, а во втором — `c` + `b`. Нужно найти общее число точек. В наших обозначениях это `a` + `c` + `b`. Чтобы можно было вычислить это выражение, его нужно записать только через известные величины `a` + `c` = 190, `c` + `b` = 230, `c` = 70. В искомом выражении есть `a` и `b`, которые в известных встречаются только в `a` + `c` и `b` + `c` соответственно. Значит, `a` + `c` и `b` + `c` нужно включить в запись. Однако (`a` + `c`) + (`b` + `c`) не равно `a` + `c` + `b`. Чтобы сравнять их, нужно отнять `c`. Таким образом, получаем формулу для решения задачи, в которую остаётся только подставить конкретные числа: `a` + `c` + `b` = (`a` + `c`) + (`b` + `c`) − `c` = 190 + 230 − 70 = 350. 2. Восьмого марта в кино пришло 100 ребят. На приключенческий фильм было продано 87 билетов, а на комедию — 63. Сколько ребят посмотрели и тот фильм, и другой? (Каждый посмотрел по меньшей мере один из фильмов.) Указание Указание 2 Ответ Указание. Эту и последующие задачи можно решить с помощью кругов Эйлера, подобных тем, что были в первой задаче. Обозначьте ребят точками, одним из кругов — множество ребят, купивших билеты на приключенческий фильм, а вторым кругом — множество купивших билеты на комедию. В пересечении кругов будут находится точки, соответствующие ребятам, купившим билеты на оба фильма, в объединении — всем ребятам (потому что все купили хотя бы по одному билету), а точки, лежащие только в одном из кругов — купившим только по одному билету. Указание 2. Задача аналогична предыдущей: два круга — фильмы, точки — ребята. Сложим количества точек в обоих кругах. Получим общее число точек (оно дано) плюс посчитанное лишний раз число точек в пересечении кругов которое и требовалось найти. Ответ. 50 3. В кондитерском отделе супермаркета посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет. В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет? Ответ Ответ. 81 4. В классе 29 человек. 15 из них занимаются в музыкальном кружке, 21 — в математическом. Сколько человек посещают оба кружка, если известно, что только Вовочка не ходит ни в один из двух кружков? Указание Ответ Указание. Вовочку можно обозначить точкой, лежащей за пределами обоих кругов, а значит, задача решается так же, как если бы в классе было 28 человек. Ответ. 8 5. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде — 28, на роликах — 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах — 10, на сноуборде и на роликах — 5, а на всех трех — 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах? (В число умеющих кататься на сноуборде включены те, кто умеет кататься ещё на чём-либо, и так далее). Указание Указание 2 Ответ Указание. Для иллюстрации этой задачи нужны 3 круга Эйлера; нужно найти число точек вне их всех (поскольку количество всех точек известно — всего ребят 100, то достаточно найти число точек в кругах). По сколько раз будут посчитаны точки, находящиеся в пересечении двух кругов? А трёх? Указание 2. Ответ. 20 Примечание: способ решения этой задачи представляет собой частный случай формулы включений-исключений для трёх множеств. 6. Во дворе стоят машины. Некоторые из них — москвичи, а остальные — жигули. Некоторые из машин красные, а остальные белые. Некоторые из машин новые, а остальные — старые. Известно, что красных москвичей — 3, новых москвичей — 4, а новых красных машин — 5. При этом старых белых москвичей — 2, новых белых жигулей — 1, а старых красных москвичей вообще ни одного. Сколько во дворе новых красных москвичей, если всего машин 21, а старых белых жигулей — 6? Указание Ответ Решение Указание. Часть условия этой задачи — лишняя. Ответ. 3 Решение. По условию, красных москвичей 3. В их число входят новые красные москвичи (число которых и нужно найти) и старые красные москвичи (по условию, их ни одного). Значит, новых красных москвичей столько же, сколько красных москвичей вообще, то есть 3. 7. Сколько существует целых положительных чисел, меньших 100, которые: а) делятся и на 2, и на 3; б) делятся на 2, но не на 3; в) делятся на 3, но не на 2; г) делятся на 3 или на 2; д) не делятся ни на 2, ни на 3? Указание Указание 2 Ответ Указание. а) Все числа, делящиеся и на 2, и на 3, делятся на 6. Докажем это. По определению, делимость числа `x` на 6 означает, что `x` : 6 — некоторое целое число (обозначим его `a`), то есть что `x` = 6·`a`, где `a` — целое число. Аналогично, делимость на 2 означают представимость в виде `x` = 2·`b`, где `b` — целое, а на 3 — в виде `x` = 2·`c` с целым `c`. Итак, пусть `x` = 2·`b`. Так как `x` делится ещё и на 3, то 2·`b` тоже делится на 3, а раз 2 на 3 не делится, то делиться на 3 должно `b`, то есть `b` = 3·`d`, где `d` — целое. Итак, `x` = 2·3·`d` = 6·`d`, то есть любой `x`, делящийся и на 2, и на 3, делится и на 6. Значит, все нужные нам числа находятся среди делящихся на 6. Но вдруг среди делящихся на 6 будут лишние (не делящиеся на 2 или на 3 или и на 2, и на 3 одновременно)? Докажем, что все числа, делящиеся на 6, также делятся и на 2, и на 3. Пусть `x` = 6·`a`, то есть `x` делится на 6. Так как 6 = 2·3, то `x` = 2·(3·`a`). Так как `a` — целое, то и 3·`a` тоже целое, а значит, `x` = 2·`b`, где `b` = 3·`a`, то есть `x` подходит под определение числа, делящегося на 2. Аналогично, `x` = 3·`c`, где `c` = 2·`a`, то есть `x` делится и на 3. Итак, число делится и на 2, и на 3 тогда и только тогда, когда оно делится на 6. Осталось найти количество натуральных чисел, меньших 100, делящихся на 6. Указание 2. а) Поскольку на 6 делится каждое шестое число, то число таких чисел равно частному от деления с остатком 100 на 6 = 16 (отметим, что если бы 100 делилось на 6, то таким образом было бы найдено число таких чисел, меньших либо равных 100). б) Нужно от числа всех делящихся на 2 (в этом промежутке) отнять число делящихся и на 2, и на 3 (уже посчитано). Останется количество чисел, делящихся на 2, но не на 3. В терминах кругов это точки, лежащие в одном круге (все, делящиеся на 2), но не лежащие во втором (делящиеся и на 2, и на 3), при этом второй круг находится полностью внутри первого, а известно количество всех точек и количество точек, лежащих во втором круге. В терминах множеств это обозначает разность множеств. г) Первый круг обозначает точки, делящиеся на 2, а второй — на 3. Точки, лежащие в их пересечении — числа, делящиеся и на 2, и на 3 сразу (то есть делящиеся на 6). Нужно найти общее количество точек в обоих кругах, то есть в объединении множеств. д) Количество таких чисел равно количеству всех натуральных чисел, меньших 100, минус число чисел, не удовлетворяющих условию (делящихся на 2 или на 3). Это дополнение к множеству чисел, рассматриваемому в предыдущем пункте. Ответ. а) 16; б) 33; в) 17; г) 66; д) 34.	ЗАДАЧИ 5 класс Плюс-минус один Обратный ход Посчитай-ка Скобки и знаки Рыцари и лжецы Движение Движение (доп. задачи) Факториал Комбинаторика (доп. задачи) Математическая абака Комбинаторика Козы Переливания Предновогодний Оливье Математическая карусель Всюду идут дороги Разные задачи Разрезалки Круги Эйлера Принцесса или тигр Магические фигуры Двумя способами Конструкции ЗАДАЧИ ауд. П3 (рук. Л. А. Попов)