МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Двумя способами (6 апреля 2013 года)

1.

Можно ли расставить числа в таблице 6×9 так, чтобы в каждом столбце была сумма по 10, а в каждой строке — по 20?

2.

В прямоугольной таблице 8 столбцов, сумма в каждом столбце — по 10, а в каждой строке — по 20. Сколько в таблице строк?

3.

Средний возраст 11 игроков футбольной команды — 22 года. Во время матча один игрок получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся — 21 год. Сколько лет получившему травму?

4.

В строку записаны 10 чисел, причем сумма любых трех подряд равна 7, а сумма всех равна 20. Найдите седьмое число.

5.

В однокруговом турнире участвовали 15 шахматистов. Могло ли оказаться, что каждый из них ровно 5 раз сыграл вничью?

6.

Можно ли в таблицу 5×5 записать числа 1, 2, 3, …, 25 так, чтобы в каждой строке сумма нескольких записанных чисел была равна сумме остальных чисел этой строки?

7.

В стране Карабасии живут карабасы и барабасы. Каждый карабас дружит с шестью карабасами и девятью барабасами. Каждый барабас дружит с десятью карабасами и семью барабасами. Кого в этой стране больше — карабасов или барабасов?

8.

Взяли несколько одинаковых правильных треугольников и вершины каждого из них пометили цифрами 1, 2 и 3. Затем их сложили в стопку. Могло ли оказаться, что сумма чисел, находящихся в каждом углу, равна 55?

9.

Две команды разыграли первенство по десятиборью, причем за победу в каждом из видов команда получала 4 очка, за ничью — 2 очка и за проигрыш — 1 очко. Вместе обе команды набрали 46 очков. Сколько было ничьих?

10.

Футбольный мяч сшит из 32 лоскутов: белых шестиугольников и черных пятиугольников. Каждый черный лоскут граничит с пятью белыми, а каждый белый — с тремя черными и тремя белыми. Сколько лоскутов белого цвета?

11.

Четыре девочки — Катя, Лена, Маша и Нина — участвовали в концерте. Они пели песни. Каждую песню исполняли три девочки. Катя спела 8 песен — больше, чем каждая из остальных, а Лена — 5 песен — меньше, чем каждая из остальных девочек. Сколько песен было спето?

12.

У царя Гороха I было три сына. Каждый из его потомков либо умер во младенчестве, либо правил государством и также имел трех сыновей. Известно, что последним правителем был Горох XVII. Сколько потомков царя Гороха умерло во младенчестве?

13.

Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей доски оказаться нечетное число фигур? (Угловая клетка также считается диагональю доски.)

14.

На шахматной доске 9×9 расставлены 9 ладей, не бьющих друг друга. Каждую из этих ладей передвинули ходом коня. Докажите, что теперь какие-то две ладьи бьют друг друга.