МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Руководители Дмитрий Владимирович Трущин и Михаил Владимирович Шеблаев
2012/2013 учебный год

Версия для печати

Посчитай-ка (6 октября 2012 года)

1.
Сколько раз буквосочетание «раз» встречается в этой фразе?
Ответ. Сколько раз буквосочетание «раз» встречается в этой фразе?
(3 раза)
2.
У Насти и Ани денег поровну. Сколько денег должна дать одна из них другой, чтобы у Насти стало на 10 рублей больше, чем у Ани?
Решение. У Ани количество денег уменьшится на ту сумму, которую она даст Насте, а у Насти увеличится на такую же. То есть, разница между ними станет вдвое больше этой суммы. Чтобы разница была равна 10 рублям, сумма должна быть вдвое меньше, то есть 5 рублей.
Решение (способ через уравнения). Обозначим буквами все неизвестные величины: пусть сначала у Насти и у Ани было по \(x\) рублей. Пусть Аня дала Насте \(y\) рублей. Посчитаем, сколько рублей стало у обеих: у Насти стало \(x + y\) рублей, а у Ани \(x - y\) рублей. По условию, у Насти должно стать на 10 рублей больше, то есть у Насти столько рублей, сколько у Ани, плюс ещё 10:
\(x + y = x - y + 10\)
Если от двух равных чисел отнять равные, то они останутся равными между собой, поэтому можно вычесть из обоих частей уравнения \(x\):
\(x + y - x = x - y + 10 - x\)
\(y = -y + 10\)
Прибавим к обоим частям \(y\), чтобы неизвестные остались только в левой части уравнения (иначе можно сказать, перенесём \(-y\) в левую часть уравнения):
\(2 y = 10\)
\(y = 10 : 2\)
\(y = 5\) (рублей).

Примечание: хотя \(x\) нам неизвестен, задачу удалось решить, не находя его.
3.
У Маши, Саши и Даши вместе 11 воздушных шариков. У Маши на 2 шарика меньше, чем у Даши, а у Саши на 1 шарик больше, чем у Даши. Сколько шариков у Даши?
Решение. Обозначим количество шариков у Даши буквой \(x\). Тогда у Маши будет \(x - 2\) шарика, а у Саши \(x + 1\) шарик. Чтобы найти \(x\), нужно составить уравнение, то есть выразить какое-нибудь число двумя разными способами. В задаче присутствует число 11 — общее количество шариков у друзей. Тогда, с одной стороны, чтобы найти общее число шариков, нужно сложить количества шариков у каждого из ребят. С другой стороны, известно, что оно равно 11:
\(x + (x - 2) + (x + 1) = 11\)
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
\(x + x - 2 + x + 1 = 11\)
\(3 x - 1 = 11\)
Если \(3 x\) минус 1 равно 11, то само \(3 x\) на 1 больше, чем 11:
\(3 x = 11 + 1\)
\(3 x = 12\)
Если три икса составляют 12, то один икс в три раза меньше двенадцати:
\(x = 12 : 3\)
\(x = 4\).
Итак, у Даши 4 шарика.
4.
На поляне ребята пасут жеребят. Если пересчитать ноги ребят и жеребят, то будет 74, а если считать головы, то 22. Сколько на поляне жеребят?
Решение. Всего ребят и жеребят столько, сколько голов, то есть 22. Всего пар ног будет 74 : 2 = 37. Если бы на поляне были только ребята, то пар ног было бы столько, сколько их самих, то есть 22, но их больше. Если заменить ребёнка на жеребёнка, то число пар ног увеличится на 1, так как у жеребёнка на 1 пару ног больше, чем у ребёнка. Значит, разница между общим числом пар ног и общим числом голов — и есть число "лишних" пар ног, то есть число жеребят. Итак, жеребят на поляне 37 - 22 = 15. (Кстати, ребят тогда будет 22 - 15 = 7 человек).
Решение (через уравнения). Обозначим число жеребят за \(x\). Тогда ребят будет \(22 - x\). Тогда число ног жеребят вчетверо больше, чем число самих жеребят, то есть оно равно \(4 x\), а число ног ребят равно \(2 \cdot (22 - x)\). Общее число всех ног равно \(4 x + 2 · (22 - x)\), что составляет 74:
\(4 x + 2 · (22 - x) = 74\)
\(4 x + 44 - 2 x = 74\)
\(2 x + 44 = 74\)
Это значит, что 74 на 44 больше, чем \(2 x\), то есть что \(2 x\) на 44 меньше, чем 74:
\(2 x = 74 - 44\)
\(2 x = 30\)
Один икс вдвое меньше, чем два икса, то есть
\(x = 30 : 2\)
\(x = 15\).
Итак, жеребят на поляне 15.
5.
Три землекопа за 2 часа вырыли 3 ямы. Сколько ям выроют 6 землекопов за 5 часов?
Решение. 3 землекопа роют за 2 часа 3 ямы;
1 землекоп роет за 2 часа 1 яму;
1 землекоп роет за 1 час половину ямы.
Тогда 6 землекопов роют за 5 часов \(6 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot 5 = 15\) ям.
6.
Во время математической олимпиады ученик должен был разделить число на два и к результату прибавить 3, а он поторопился, и вместо этого умножил число на два и от полученного произведения отнял три. Но ответ у него получился верный. Какой?
Указание. Обозначьте неизвестное число какой-нибудь буквой и составьте уравнение.
Решение. Пусть это число равно \(x\). Тогда, с одной стороны, ученик должен был вычислить \(\frac{1}{2} · x + 3\), а у него получилось \(2 · x - 3\). По условию задачи, эти числа равны между собой:
\(2 x - 3 = \frac{1}{2} x + 3\)
Вычтем из равных чисел одно и то же число \(\frac{1}{2} x\), чтобы убрать из правой части неизвестые (можно сказать иначе: перенесём это число в другую часть уравнения, при этом изменится знак).
\(2 x - \frac{1}{2} x - 3 = 3\)
\((2 - \frac{1}{2}) x - 3 = 3\)
Аналогично, полностью известные слагаемые перенесём вправо:
\(\frac{3}{2} x = 3 + 3\)
\(\frac{3}{2} x = 6\)
\(x = 6 : \frac{3}{2}\)
\(x = 6 \cdot \frac{2}{3}\)
\(x = 4\)
Ответ: 4.
7.
Один сапфир и два топаза
Ценней, чем изумруд, в три раза.
А семь сапфиров и топаз
Его ценнее в восемь раз.
Определить прошу я вас:
Сапфир ценнее иль топаз?
Указание. Обозначьте все неизвестные числа разными буквами и составьте два уравнения. Необязательно находить все неизвестные, чтобы решить задачу. Достаточно, например, выразить цены сапфира и топаза через цену изумруда, чтобы сравнить их.
Указание 2. Обозначим цены камней первыми буквами их названий. Тогда имеем:
Один сапфир и два топаза ценней, чем изумруд, в три раза:
\(С + 2 Т = 3 И\)
А семь сапфиров и топаз его ценнее в восемь раз:
\(7 С + Т = 8 И\)
Выразите сначала с помощью одного из уравнений цену, например, топаза через цены сапфира и изумруда, а затем подставьте это выражение в другое уравнение, так что оно станет связывать только цены сапфира и изумруда между собой. Поступите аналогично, чтобы найти выражение цены топаза через цену изумруда. Такой способ решения систем уравнений называется методом подстановки.
Решение.
Итак, получили 2 уравнения с 3 неизвестными (которые, вообще-то, не обязаны иметь однозначного решения). Однако, нам не нужно их решать, ведь нужно лишь сравнить \(С\) и \(Т\).
Из последнего уравнения легко найти выражение для стоимости топаза:
\(Т = 8 И - 7 С\)
Это можно подставить в первое уравнение:
\(С + 2 \cdot (8 И - 7 С) = 3 И\)
Раскроем в нём скобки и приведём подобные слагаемые:
\(С - 14 С + 16 И = 3 И\)
\(-13 С = (16 - 3) И\)
\(-13 С = -13 И\)
Значит, сапфир стоит столько же, сколько изумруд. Тогда в первом уравнении будет
\(И + 2 Т = 3 И\)
\(2 Т = 3 И - И\)
\(2 Т = 2 И\)
\(Т = И\).
Итак, все камни стоят одинаково.
8.
Над озёрами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся. Все сели на семи озерах. Сколько было гусей?
Указание. Найдите, как связаны число всех гусей, долетевших до какого-то озера, и число гусей, оставшихся лететь дальше после него.
Указание 2. По условию, число гусей, оставшихся лететь после последнего озера, равно 0. Примените дальше обратный ход.
Решение.

Чтобы на последнем озере сели все оставшиеся гуси, нужно, чтобы половина оставшихся гусей плюс полгуся как раз и составляли всех оставшихся гусей. Значит, полгуся — это вторая половина всех оставшихся перед последним озером гусей, то есть их было всего 1. Рассуждая аналогично, обратным ходом находим количество гусей, летевших перед предпоследним озером, перед предпредпоследним и так далее.

Напишем в математических обозначениях: пусть изначально было \(x_0\) гусей, после первого озера лететь дальше осталось \(x_1\) гусей, после второго — \(x_2\), и так далее. То есть, \(x_i\) обозначает количество гусей, оставшихся лететь после озера номер \(i\) (где \(i\) — любой из возможных номеров от 1 до 7), а \(x_{i - 1}\) — оставшихся лететь после предыдущего озера (то есть долетевших до этого и севших либо оставшихся лететь дальше). Эти числа различаются только на число гусей, севших на озере номер \(i\), которое по условию составляет половину от всех долетевших до него \(x_{i-1}\) гусей плюс полгуся, то есть
\(x_i = x_{i-1} - (\frac{1}{2} x_{i-1} + \frac{1}{2})\)
\(x_i = \frac{1}{2} x_{i-1} - \frac{1}{2}\)
Отсюда получаем формулу для числа гусей, долетевших до озера номер \(i\) (её можно было сразу написать, поняв, что летевшие дальше вместе с севшим дополнительно полгусем составляют половину всех долетевших до озера):
\(x_{i-1} = 2 (x_i + \frac{1}{2}) = 2 x_i + 1\)
Эта формула позволяет найти число всех гусей, долетевших до озера, если известно число гусей, полетевших дальше после него. В частности, после седьмого озера лететь дальше никого не осталось, то есть \(x_7 = 0\), откуда получаем, что
\(x_6 = 2 x_7 + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1\) гусь долетел до последнего озера. Дальше можно найти, что до предпоследнего озера долетело
\(x_5 = 2 x_6 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3\) гуся; до предпредпоследнего долетело
\(x_4 = 2 x_5 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7\) гусей;
.....
до первого озера долетело
\(x_0 = 2 x_1 + 1 = 2 \cdot 63 + 1 = 127\) гусей.

Ответ: 127 гусей.

9.
Белка за 20 минут приносит в гнездо орех. Далеко ли от орешника ее гнездо, если налегке белка бежит со скоростью 5 м/с, а с орехом — со скоростью 3 м/с?
Ответ. 2250 метров.
Указание. Посчитайте сначала, на сколько секунд каждый метр пути удлиняет поход за орехом.
Решение. Путь в одну сторону с орехом занимает другое время, чем путь без ореха, так что применять обычные формулы для равномерного движения ко всему пути сразу нельзя, а к частям пути неудобно, потому что неизвестно, сколько времени из её пути тратится на дорогу в каждую из сторон. Однако легко посчитать, сколько времени займёт у белки каждый метр дороги до ореха при движении и туда, и обратно вместе: при движении за орехом белка пробежит 1 метр пути за \(\frac{1}{5}\) секунды (ведь она движется со скоростью 5 метров за 1 секунду), а при движении обратно — за \(\frac{1}{3}\) секунды. То есть, каждый метр дороги удлиняет общее время в пути на \(\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{5 \cdot 3} + \frac{5}{3 \cdot 5} = \frac{3 + 5}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}\) секунды. Значит, длина пути равна времени в пути (в секундах), разделённому на число секунд, потраченному на каждый метр, то есть (с учётом перевода минут в секунды)
\(S = 20 \cdot 60 : \frac{8}{15} = \frac{20 \cdot 60 \cdot 15}{8} = \frac{(4 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 30) \cdot 15}{4 \cdot 2} = 5 \cdot 30 \cdot 15 = 15 \cdot 15 \cdot 10 = 15 \cdot (10 + 5) \cdot 10 = (150 + 75) \cdot 10 = (150 + 50 + 25) \cdot 10 = 2250\) метров.
10.
Звездочет установил, что на небе есть \(1000\) созвездий. Первое из них состоит из одной звезды, второе — из трех звезд, третье — из пяти звезд и так далее (в каждом следующем созвездии на две звезды больше, чем в предыдущем). В последнем созвездии \(1999\) звезд. Сколько всего звезд на небе?
Указание. Всего звёзд \(1 + 3 + 5 + ... + 1995 + 1997 + 1999\). Как посчитать такую сумму? Сложите первое число с последним, второе — с предпоследним и так далее. Сколько всего слагаемых будет в сумме?
Решение.

Слагаемые можно сгруппировать в пары, в каждой из которых сумма будет равна 2000. Докажем это строго: в первом созвездии 1 звезда, во втором — три, и вообще в каждом следующем на 2 звезды больше. Тогда в созвездии номер \(i\) будет \(2 i - 1\) звезда (действительно, при \(i = 1\) будет 1 звезда, а затем с увеличением номера \(i\) на 1 число звёзд увеличивается на \((2(i+1) - 1) - (2 i - 1) = 2\)).

Важно, что созвездий чётное число, поэтому на пары разобьются все слагаемые.

Тогда пар будет вдвое меньше, чем созвездий.

Итак, звёзд всего \(2000 \cdot 1000 : 2 = 1000 \cdot 1000 = 1000000\).

Примечание: сумма, которую нужно было вычислить, представляет собой арифметическую прогрессию. Подробнее её проходят в старших классах.


Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS