МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Принцесса или тигр (23 марта 2013 года).

Сегодняшнее занятие посвящено решению задач из замечательной книги Р. Смаллиана «Принцесса или тигр?», где есть ещё множество других интересных задач.

В каждой из задач имеется две комнаты, в некоторых из которых поджидают проголодавшиеся тигры, а в остальных — прекрасные принцессы. В каждой из комнат всегда кто-то один. Нужно при помощи оставленных на дверях надписей определить, где кто. Но берегитесь! Не все надписи правдивы!

Может быть так, что в обоих комнатах кто-то одинаковый. Во всех задачах нужно не только найти подходящую комбинацию, но и доказать, почему другие варианты не подходят.

1.

На одной из двух дверей написана правда, а на другой — ложь. А надписи такие:
«В этой комнате находится принцесса, а в другой комнате сидит тигр.»
«В одной из этих комнат находится принцесса; кроме того, в одной из этих комнат сидит тигр.»

Указание Примечание Решение

Указание. Рассмотрите разные случаи: каждая из надписей правдива или ложна, или рассмотрите варианты, кто где сидит. В случаях, которые не могут быть, вы придёте к противоречию с уловием задачи.

Примечание. Первая надпись утверждает, что выполняются одновременно два утверждения: «в первой комнате сидит принцесса», и «во второй комнате сидит тигр», то есть, она имеет вид «А и Б». Значит, чтобы первая надпись была ложна, достаточно, чтобы хотя бы одно из этих двух утверждений не выполнялось, то есть либо в первой комнате не было принцессы, либо во второй не было тигра. То есть, отрицание первой надписи «не (А и Б)» имеет вид «не А или не Б».

Решение. Пусть первая надпись правдива. Тогда в первой комнате принцесса, а во второй тигр, и поэтому вторая надпись тоже правдива. Но, по условию, одна из надписей должна быть ложна. Противоречие.
Пусть теперь первая надпись ложна. Она утверждала, что в первой комнате принцесса и во второй тигр. Значит, если она неверна, то неверно хотя бы одно из этого. Тогда либо в этой комнате сидит не принцесса (а сидит тигр), либо во второй комнате нет тигра (а сидит принцесса), а, может быть, и то, и другое. А ещё тогда, раз одна из надписей должна быть верна, то верна вторая надпись. То есть, и тигр должен быть где-то, и принцесса тоже где-то должна быть. Значит, варианты, где в обеих комнатах тигры или в обеих комнатах принцессы не подходят. Остаётся вариант, где в первой комнате тигр, а во второй — принцесса.

2.

А в этой задаче, наоборот, либо на обеих дверях написана святая истина, либо на обеих — подлая ложь.
«По крайней мере в одной из этих комнат находится принцесса.»
«Тигр сидит в другой комнате.»

Решение

Решение. Если вторая надпись верна, то в первой комнате тигр. Кроме того, тогда первая надпись тоже должна быть верна, значит, принцесса должна быть во второй комнате.
Если бы вторая надпись не была верна, то есть в первой комнате была бы принцесса, то первая надпись оказалась бы верна. В то же время, по условию, она должна была бы быть не верна вместе со второй. Противоречие.

3.

И в этой задаче снова, надписи либо обе верны, либо обе нет.
«Либо в этой комнате сидит тигр, либо принцесса находится в другой комнате, либо и то и другое.»
«Принцесса в другой комнате.»

Примечание

Примечание. Первая надпись утверждает, что верно хотя бы одно из двух: тигр в первой комнате или принцесса во второй. Значит, она неверна тогда и только тогда, когда неверно и то, и другое одновременно (иначе было бы верно хотя бы одно из них).
Если за А и Б обозначить её части, то надпись гласит «А или Б». Тогда её отрицание означает «не (А или Б)», то есть «не А или не Б». Вместе с примечанием к первой задаче это означает, что, когда отрицание проносится под операции «и» и «или», они заменяются друг на друга. В логике это называется законами де Моргана.

4.

«В обеих комнатах находятся принцессы.»
«В обеих комнатах находятся принцессы.»

Указание Решение

Указание. Эти задачи решаются также — перебором нескольких вариантов.

Решение. Если верна надпись на первой табличке, то верна и на второй (ведь надписи одинаковы). Тогда, согласно надписи, в обеих комнатах принцессы. Но, согласно условию, раз на второй комнате верная надпись, в ней тигр. Противоречие.
Тогда обе надписи неверны, то есть хотя бы в одной из комнат должен быть тигр. В первой комнате как раз должен быть тигр, так как на ней ложная надпись. А раз на второй ложная, то во второй принцесса.

5.

«По крайней мере в одной из комнат находится принцесса.»
«Принцесса в другой комнате.»

Примечание Решение

Примечание. Первую табличку можно рассматривать утверждение вида «А или Б», где А = «в первой комнате принцесса», Б = «во второй комнате принцесса», для которых мы показали, что отрицания имеют вид «не А и не Б». Однако можно посмотреть на это с другой стороны. Первая табличка утверждает, что среди этих двух комнат существует комната, для которой верно утверждение А = «в этой комнате есть принцесса». Отрицание от него — «принцессы нет ни там, ни там» — означает, что для любой комнаты выполняется отрицание А. То есть,
«не (существует комната (для которой А)) = для любой комнаты (не А)».
Таблички в прошлой задаче имели другой вид «для любой комнаты (А)», то есть их отрицание представляло собой
«не (для любой комнаты (А)) = существует комната (для которой (не А))».
Таким образом, кроме законов де Моргана, здесь тоже наблюдается симметрия: отрицание ещё меняет «существует» и «для любого» на противоположное.

Решение. Если первая табличка верна, то в первой комнате должна быть принцесса. Значит, вторая табличка тоже верна. Тогда во второй комнате тигр (раз на ней верная табличка).
Если первая табличка не была бы верна, то в обеих комнатах должны быть тигры. Тогда вторая табличка тоже неверна, а значит, во второй комнате должен быть не тигр, а принцесса. Противоречие.

6.

«Что ни выберешь — все едино.»
«Принцесса в другой комнате.»

7.

«Что выбрать — большая разница.»
«Лучше выбрать другую комнату.»

8.

В этой задаче таблички написаны, но еще не повешены на двери, и не ясно, какая куда:
«В этой комнате сидит тигр.»
«В обеих комнатах сидят тигры.»

Указание Решение

Указание. В этой задаче придётся дополнительно рассматривать варианты с разным расположением табличек на дверях.

Решение. 1) Пусть первая табличка висит на первой двери.
1а) Пусть она верна. Тогда, по условию, в этой комнате должна быть принцесса, а табличка говорит, что там тигр. Противоречие.
1б) Пусть она неверна. Тогда, по условию, в этой комнате должен быть тигр, а это значит, что она верна. Противоречие.
1) Итак, первая табличка вообще не может быть на первой двери.

2) Пусть первая табличка на второй двери. Тогда вторая — на первой.
2а) Пусть первая табличка верна. Тогда во второй комнате должна быть принцесса, а табличка говорит, что там тигр. Противоречие.
2б) Остаётся, что первая табличка на второй двери, и она неверна. Значит, во второй комнате принцесса. Тогда неверна и вторая табличка (на первой двери). По условию, это означает, что в первой комнате тигр. Итак, в первой комнате тигр, а во второй — принцесса.