МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Руководители Дмитрий Владимирович Трущин и Михаил Владимирович Шеблаев
2012/2013 учебный год

Движение (дополнительные задачи) (27 октября 2012 года)

9.
Сколько раз за сутки минутная стрелка обгоняет часовую?
Быстрое решение. Посчитайте, сколько оборотов за сутки делает минутная стрелка, и сколько — часовая.
10.
Паспарту увидел приближающийся к мосту автомобиль Фикса, когда он прошел 3/8 этого моста. Если он повернет назад и побежит навстречу автомобилю, то они встретятся у начала моста. Если же он побежит вперед, то автомобиль догонит его в конце моста. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости Паспарту?
Указание.

Обратите внимание, что из условия задачи следует, что автомобиль едет в том же направлении, в каком первоначально шёл Паспарту.

Обозначьте все неизвестные, например, так:
\(v_{П}\) — скорость Паспарту;
\(v_{А}\) — скорость автомобиля Фикса;
\(l\) — длина моста;
\(d\) — расстояние от автомобиля до моста в начальный момент.
Должны получиться 2 уравнения, но нам можно их не решать, ведь нужно только найти \(\frac{v_{А}}{v_{П}}\).
Указание 2. Как составить уравнения? По условию, если Паспарту побежит навстречу автомобилю, они встретятся у начала моста, то есть Паспарту пробежит обратно 3/8 моста за такое же время, за какое автомобиль Фикса доедет до начала моста. То есть, нужно в наших обозначениях записать время, нужное Паспарту для прохода 3/8 моста, и время, нужное Фиксу для того, чтобы до него доехать, и приравнять их. Второе уравнение, для случая, если Паспарту побежит по мосту дальше вперёд, получается аналогично.
Решение.

Время, за которое Паспарту пробежит 3/8 моста: \(\frac{3}{8} \cdot \frac{l}{v_{П}}\)
Время, за которое автомобиль доедет до моста: \(\frac{d}{v_{А}}\)
По условию, они равны.

Время, за которое Паспарту пробежит оставшуюся 1 - 3/8 часть моста: \((1 - \frac{3}{8}) \cdot \frac{l}{v_{П}}\)
Время, за которое автомобиль доедет до моста и проедет весь мост: \(\frac{d + l}{v_{А}}\)
По условию, они тоже равны.

Итак,
\(\frac{3}{8} \cdot \frac{l}{v_{П}} = \frac{d}{v_{А}}\);
\((1 - \frac{3}{8}) \cdot \frac{l}{v_{П}} = \frac{d + l}{v_{А}}\).

Существует много способов найти \(\frac{v_{А}}{v_{П}}\), например, умножив обе части первого уравнения на \(v_{А}\) и разделив на \(l\), а затем найдя выражение для \(\frac{d}{l}\) из второго уравнения или произведя во втором уравнении те же действия, чтобы тоже выразить \(\frac{v_{А}}{v_{П}}\) и составить одно уравнение из двух. Однако, можно поступить иначе. Заметим, что уравнения похожи друг на друга. Вычтем из второго уравнения первое, чтобы некоторые их части сократились:
\((1 - \frac{3}{8} - \frac{3}{8}) \cdot \frac{l}{v_{П}} = \frac{d + l - d}{v_{А}}\).
Остаётся только упростить уравнение дальше:
\(\frac{2}{8} \cdot \frac{l}{v_{П}} = \frac{l}{v_{А}}\);
\(\frac{1}{4} \cdot \frac{v_{А}}{v_{П}} = 1\);
\(\frac{v_{А}}{v_{П}} = 4\).

Ответ: в 4 раза.

11.
В разные моменты времени из пунктов А и В выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Встретившись в точке С, они тотчас развернулись и поехали обратно. Доехав до своих пунктов, они опять развернулись и поехали навстречу друг другу. На этот раз они встретились в точке D и, развернувшись, вновь поехали к своим пунктам. И т.д. В какой точке отрезка АВ произойдет их 1999 встреча?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS