МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Расстановки скобок и знаков (13 октября 2012 года)

1.

Использовав ровно четыре раза цифру 7, знаки действий и скобки, представьте все целые числа от 0 до 10.

Указание Решение

Указание. Это задача не на простой перебор. В ней нужно вспомнить основные свойства арифметических действий, нуля и единицы. Также можно записывать несколько цифр подряд в одно число.

Решение. Несколько первых чисел получаются из основных свойств 0 и 1.
7 - 7 + 7 - 7 = 0
7 : 7 · 7 : 7 = 1
7 : 7 + 7 : 7 = 2
Для записи тройки можно было бы написать 7:7 + 7:7 + 7:7, но семёрок не хватит. Чтобы уменьшить число используемых семёрок, можно эти три слагаемых, используя скобки:
(7 + 7 + 7) : 7 = 3
77 : 7 - 7 = 4
Числа от 5 до 9 представляются в виде суммы или разности 7 и другого, более маленького числа, которое надо получить похожим способом уже из трёх семёрок:
7 - (7 + 7) : 7 = 5
(7 · 7 - 7) : 7 = 6
7 + (7 - 7) : 7 = 7
(7 · 7 + 7) : 7 = 8
7 + (7 + 7) : 7 = 9
(77 - 7) : 7 = 10

2.

Расставьте в записи 4 · 12 + 18 : 6 + 3 скобки так, чтобы получилось:
A) число 50;
Б) наибольшее возможное число.

Решение

Решение. A) 4 · 12 + 18 : (6 + 3)

Б) 4 · (12 + 18 : 6 + 3)
Нужно показать, что это действительно наибольшее возможное число. Чтобы получаемое число было больше, нужно умножить 4 на как можно большее число, для чего берём в скобки всё остальное выражение. Если исключить из скобок какое-то слагаемое, то результат уменьшится. Если добавить внутри ещё какие-нибудь скобки, то произойдёт то же самое: либо кроме 18-ти ещё и 12 будет разделено на 6 (а деление на 6 уменьшит получаемое), либо, если объединить в скобки 6 + 3, то будем делить на большее, чем раньше, число, что тоже уменьшит результат от деления.

3.

Между числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, записанными в указанном порядке, поставьте знаки сложения и умножения так, чтобы полученное выражение имело значение 100 (Использовать скобки нельзя. Между любыми двумя соседними цифрами должен стоять знак + или · ).

Решение

Решение. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 · 9