МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 18 (3 марта 2012 года). Неравенство треугольника

Для любых трёх точек A, B и C выполняется неравенство AB + BC ≥ AC, причём равенство имеет место в том и только в том случае, когда точка B лежит на отрезке AC. В частности, если точки A, B и C являются вершинами треугольника, верно строгое неравенство AB + BC > AC, называемое неравенством треугольника.

Верно и обратное: если числа a, b и c удовлетворяют трём неравенствам a + b > c, b + c > a и c + a > b, то существует треугольник с длинами сторон, равными a, b и c.

1.

Длина стороны AC треугольника ABC равна 3,8 см, длина стороны AB — 0,6 см, а длина стороны BC выражается целым числом сантиметров. Какова эта длина?

2.

Из любых ли четырёх отрезков можно сложить четырёхугольник?

3.

От Петербурга до Москвы 660 км, от Петербурга до деревни Лыково 310 км, от Лыкова до Клина 200 км, от Клина до Москвы 150 км. Каково расстояние от Лыкова до Москвы?

4.

Докажите, что у выпуклого четырёхугольника сумма длин диагоналей больше его полупериметра и меньше периметра.

5.

Муха сидит в вершине X деревянного куба. Как ей переползти в противоположную вершину Y, двигаясь по самому короткому пути?

* * *

6.

Красной Шапочке надо выйти из дома, дойти до шоссе, которое представляет собой прямую линию, подождать там развозчика пирожков, купить пирожок и отнести его бабушке, живущей в другом доме. Где Красная Шапочка должна выйти к шоссе, чтобы её путь оказался минимальным?

7.

В Москве живут 2000 скалолазов, в Санкт-Петербурге и Новосибирске — по 500, в Екатеринбурге — 200, а остальные 100 рассеяны по территории России. Где нужно устроить чемпионат России по скалолазанию, чтобы суммарное расстояние, которое придётся проехать участникам к месту проведения чемпионата, было минимальным?

8.

Найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин данного выпуклого четырёхугольника минимальна.

9.

Верны ли утверждения задачи 4 для невыпуклого четырёхугольника?

10.

Докажите, что сумма расстояний от внутренней точки треугольника до его вершин меньше периметра треугольника.

* * *

11.

На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек. Докажите, что на окружности найдется такая точка, для которой сумма расстояний от неё до всех отмеченных точек будет не меньше 100.

12.

Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет большую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся.

13.

На плоскости даны n красных и n синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.