МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 16 (18 февраля 2012 года)

1.

За круглым столом сидят 12 гномов, причём как минимум семеро из них — математики. Докажите, что какие-то два математика сидят друг напротив друга.

2.

Какое наибольшее количество двузначных чисел можно отметить так, чтобы никакие два отмеченных числа в сумме не давали 100?

3.

Каких чисел от 0 до 999 больше — с чётной суммой цифр или с нечётной?

* * *

4.

Каких натуральных делителей у миллиона больше — меньших тысячи или бóльших тысячи?

5.

Какое наибольшее количество чисел от 1 до 12 можно отметить так, чтобы ни одно из отмеченных чисел не делилось на другое отмеченное число?

6.

На окружности отмечено 1000 синих и одна красная точка. Рассматриваются всевозможные многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше — тех, у которых есть красная вершина, или тех, у которых все вершины синие?

7.

В Старой Калитве живет 50 школьников, а в Средних Болтаях — 100 школьников. Где нужно построить школу, чтобы сумма расстояний, проходимых всеми школьниками, была наименьшей?

8.

Верно ли, что в условиях задачи 1 обязательно найдётся гном, у которого оба соседа — математики?

9.

Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при обходе циферблата по ходу часов от часовой стрелки минутная встречается раньше секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого?

* * *

10.

Дан набор из 7 чисел таких, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных чисел, то получится тот же набор. Найдите произведение всех чисел набора.

11.

Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных.

12.

Числа от 0 до 99 записаны «двузначным» образом: 00, 01, 02, ..., 09, 10, 11, ..., 99 и некоторым образом разбиты на две группы. Докажите, что числа хотя бы одной группы можно выписать в ряд так, чтобы любые два соседних числа этого ряда отличались друг от друга на 1, 10 или 11, и хотя бы в одном из двух разрядов (единиц или десятков) чисел этой группы встречались все 10 различных цифр.