МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Задание 7 - Площадь

Часть 1. Площадь квадрата

1.

Докажите, что равновеликие фигуры не обязательно равны.

2.

Листок календаря частично закрыт предыдущим оторванным листком(как на рисунке). Вершины верхнего листка лежат на сторонах нижнего листка. Четвёртая вершина нижнего листка не видна — она закрыта верхним листком. Верхний и нижний листки, естественно, равны между собой. Какая часть нижнего листка больше — закрытая или открытая?.

3.

Какая часть площади квадрата больше: черная или серая?

4.

Дан прямоугольник АВСD и внутри него две точки: К и М. Каждая из них соединена со всеми вершинами. Докажите, что площади серой и черной частей равны для любого расположения точек М и К внутри прямоугольника.

Часть 2. Площадь треугольника

5.

Докажите, что

a)

медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника

b)

три медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

6.

Средние линии выпуклого четырехугольника разбивают его на четыре части. Докажите, что сумма площадей закрашенных четырехугольников равна сумме площадей незакрашенных.

7.

Даны две параллельные прямые. На одной из них расположены вершины А и В треугольника АВС. Докажите, что площадь треугольника АВС не зависит от выбора точки С, находящейся на другой прямой.

8.

(«Перетягивание площадей»)
Два параллелограмма расположены так, что они имеют общую вершину и еще по одной вершине у каждого из параллелограммов лежит на сторонах другого. Докажите, что площади параллелограммов равны.