МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Елена Сергеевна Суханова
2008/2009 учебный год

Версия для печати

Занятие 1 - Разнобой

Часть первая

1.
Найти наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 становится квадратом, а после умножения на 3 — кубом целого числа.
Решение. Число должно быть представлено в виде (2x)*(3y)*(az), где x,y,z ∈ N, и где x≡0(mod 3) и y≡2(mod 3) и z≡0(mod 6). Так, как (2x*2)*(3y)*(az) представимо в виде квадрата, а (2x)*(3y*3))*(az) представима в виде куба. Чтобы число было наименьшим, возьмем x=3, y=2, z=0. Получим ответ, то есть (2³)*(3²)=72
2.
На острове Невезения живут 100 человек, причём некоторые из них всегда лгут, а остальные говорят только правду. Каждый житель острова поклоняется одному из трёх богов: богу Солнца, богу Луны или богу Земли. Каждому жителю острова задали три вопроса:
  • Поклоняетесь ли Вы богу Солнца?
  • Поклоняетесь ли Вы богу Луны?
  • Поклоняетесь ли Вы богу Земли?
На первый вопрос утвердительно ответили 60 человек, на второй — 40 человек, а на третий — 30 человек. Сколько лжецов на острове?
Решение. Пусть x-количество лжецов, а y-количество остальных. Каждый лжец дает два ответа "Да", а остальные только одно "Да". Общее количество ответов "Да" равно 60 + 40 + 30=130 Из этого мы можем вывести систему:
{ x +y =100
x +2*y =130
А из этого следует, что y=30 ⇒ x=70. Значит количество лжецов равно 70.
3.
Докажите, что медиана AM в треугольнике ABC по длине больше, чем (AB + ACBC)/2
Решение.

AM + BC/2 > AB и AM + BC/2 > AC ⇒ 2*AM + BC > AB + BC ⇒ 2*AM > AB + ACBC

Часть вторая

4.
Есть два бикфордова шнура различной длины и непостоянной толщины. Известно, что каждый сгорает ровно за одну минуту. Как при помощи этих шнуров отмерить ровно 45 секунд?
Решение. Подожжем первый шнур с разных концов, и сразу же зажжем второй шнур с одного конца. Когда догорит первый шнур, то на втором шнуре останется веревки на 30 секунд, и тогда мы подожжем втрой шнур с другого конца. Тогда он будет гореть пятнадцать секунд. Значит всего мы отмерили 45 секунд.
5.
Докажите, что из любых 52 целых чисел всегда существуют два, разность или сумма которых делится на 100.
Решение. По принципу Дирихле из 52 чисел всегда найдется 2 числа с одинаковым по модулю остатком при делении на 100. (остатки: 51,52, .. , 98, 99 можно рассматривать как псевдо-остатки: «-50», «-49», .., «-2», «-1» ). Тогда если знак остатков одинаковый, то разность чисел будет делиться на 100, если знак разный, то сумма.
6.
На поле стояли 777 гангстеров, и все они находились на попарно различных расстояниях друг от друга. Гангстеры одновременно выхватили пистолеты и каждый выстрелил в ближайшего. Докажите, что хотя бы в одного гангстера никто не стрелял.
Решение. Предположим, что такого гангстера нет. Тогда гангстеры могут разбиваться либо по парам, либо по замкнутым цепочкам, в которых первый стрелявший находится дальше всех, последний стреляет в предпоследнего и последний стреляет в первого. Очевидно, пары возможны. Докажем, что невозможны замкнутые цепочки (последний стреляет в первого) с количеством человек больше 2. Представим цепочку, где 1 стреляет в 2, 2 - в 3 и т.д. ... , n+1 стреляет в n, а n - в 1. И пусть n>2. По условию, расстояния должны все время убывать: 1 - 2 > 2 - 3 > .... > (n-2) - n-1 > 1 - 2. Что невозможно в случае строгих неравенств. Таким образом замкнутых цепочек нет. Возможны только пары и цепочки 1→2→3→..→n-1→n, в которых есть человек, в которого никто не стреляет. Так как человек нечетное число, то цепочки заведомо есть. Получили противоречие нашему предположению. Следовательно, есть гангстер, в которого никто не стреляет.
7.
Из картона склеен кубик. Двое играют в игру, делая ходы по очереди. За ход можно разрезать кубик по любому ребру. Проигрывает тот, после чьего хода кубик развалится. Кто выиграет при правильной игре?
Решение. Кубик рассмотрим в виде графа, у которого вершинам будут соответствовать грани, а ребрам – наличие ребра между двумя гранями. [надо сделать рисунок графа с пронумерованными вершинами]. Чтобы граф на данных вершинах был связен и содержал минимальное число ребер, он должен быть деревом, то есть содержать N-1 ребро, где N – количество вершин. При разрезании ребра куба, удаляется одно ребро из графа. Таким образом может остаться всего 5 ребер. Изначально их 12. Всего возможно ходов при правильной игре – 7. Таким образом 8 ход развалит кубик. 8 ход – ход второго.
Ответ. Выиграет первый игрок

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS