МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Задание 6 - Неравенства

Часть 1. Сумма и произведение

1.

Докажите, что x²+y² ≥ 2xy для любых x и y.

2.

Докажите, что x+y > 2 Vab

3.

Докажите, что z + ¹/_z ≥ 2 для любого положительного z.

4.

Докажите, что при постоянной сумме двух чисел их произведение тем больше, чем ближе числа друг другу.
Например,5 + 5 = 4 + 6 = 3 + 7 и 5 × 5 > 4 × 6 > 3 × 7.

5.

Докажите, что из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.

6.

Докажите, что из всех прямоугольников данной площади наименьший периметр имеет квадрат.

Часть 2. Больше-Меньше

7.

a)

Все стороны треугольника меньше 0,1. Может ли его площадь быть больше 10?

b)

Все стороны треугольника больше 10. Может ли его площадь быть меньше 0,1?

8.

а)

Сумма нескольких положительных чисел больше 1. Может ли сумма их квадратов быть меньше 0,01?

b)

Сумма нескольких положительных чисел меньше 1. Может ли сумма их квадратов быть больше 100?

9.

a)

Сумма двух положительных чисел меньше 0,01. Может ли произведение этих чисел быть больше 100?

b)

Сумма двух положительных чисел больше 100. Может ли произведение этих чисел быть меньше 0,01?

10.

a)

Стороны прямоугольника увеличили на 100 м. Может ли его площадь увеличится меньше чем на 0,01 м²?

b)

Стороны прямоугольника увеличили на 0,01 м. Может ли его площадь увеличится больше чем на 100 м²?

Часть 3. Дополнительная.

11.

a)

Все высоты треугольника больше 100. Может ли его площадь быть меньше 1?

b)

Все высоты треугольника меньше 1. Может ли его прощадь быть больше 100?

12.

a)

Все медианы треугольника больше 100. Может ли его площадь быть меньше 1?

b)

Все медианы треугольника меньше 1. Может ли его прощадь быть больше 100?