МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Задание 13 - Количества

Что не запрещено, то разрешено!

Часть 1. Много или мало?

1.

На одну чашку весов кладется пять десятикопеечных монет, а на другую – равная по массе пачка стодолларовых купюр. Будут ли весы в равновесии?

2.

Поезд едет от станции Михайловка до станции Потапово в одном направлении пять с половиной часов. Известно, что за любой промежуток времени в 1 час он проезжал ровно 100 км. Верно ли, что расстояние между Михайловкой и Потапово равно 550 км?

3.

Может ли и сумма, и произведение нескольких натуральных чисел быть равными 99?

4.

На балу юношей и девушек было поровну, было 10 танцев и каждый раз танцевали все.

a)

Как могло получиться, что каждый юноша каждый следующий танец танцевал либо с более красивой, либо с более умной девушкой?

b)

Как могло получиться, что в дополнение к тому в каждом танце (начиная со второго) был юноша, который танцевал и с более красивой, и с более умной девушкой?

Часть 2. Мало или много?

5.

Площадь прямоугольника меньше 1 кв.дм. Может ли его периметр быть больше 1 км?

6.

Сумма положительных чисел больше 10. Может ли сумма их квадратов быть меньше 0,1?

7.

На занятии Вася, Леня и Стас решили все задачи. Может ли оказаться, что Стас большинство задач решил раньше Лени, Леня — большинство раньше Васи, а Вася — большинство раньше Стаса?

8.

Раз в месяц директор фирмы предлагает трем своим заместителям проголосовать за новый список своей и их зарплат. Сам директор не голосует. Те заместители, чью зарплату предлагается увеличить, голосуют за, остальные – против. Предложение принимается большинством голосов. Может ли директор за год добиться, чтобы его зарплата вдесятеро увеличилась, а зарплаты всех заместителей вдесятеро уменьшились?

Часть 3. Так все-таки много или мало?

9.

Можно ли в квадрат со стороной 1 поместить несколько неперекрывающихся квадратов

a)

с суммой периметров 100;

b)

с суммой площадей 100;