|
Занятие 17. Баллада о выпуклых многоугольниках
Цель: выяснить, при каких n найдётся выпуклый n-угольник, который можно разрезать на несколько правильных многоугольников.
|
1. | Докажите, что в вершине выпуклого многоугольника М могут сходиться не более двух правильных многоугольников. Какие это многоугольники?
| |
2. |
Докажите, что если правильный k-угольник, где
k ≥ 6 примыкает к вершине многоугольника M, то две его смежные с этой вершиной стороны идут по
сторонам M. |
Правильный многоугольник,
участвующий в разбиении M, назовём
хорошим, если хотя бы одна его вершина является вершиной
многоугольника M.
|
3. | Докажите, что правильный k-угольник при k > 6 не может быть хорошим. Убедитесь в том, что если M разбит на хорошие многоугольники, то его можно разбить на T треугольников, K квадратов и П пятиугольников.
| |
4. | Докажите, что вершина пятиугольника (будем обозначать пятиугольник буквой П) не может быть внутренней точкой стороны ни
многоугольника M, ни какого-либо многоугольника разбиения.
| |
5. | Докажите, что вершина
П не может быть внутренней точкой M.
Другими словами, все вершины П являются вершинами M.
| |
6. | Докажите, что многоугольники разбиения могут примыкать только к несмежным сторонам хорошего пятиугольника. |
Пусть AB — сторона хорошего пятиугольника P, к которой примыкают ещё какие-то многоугольники разбиения. Пусть AA1 и BB1
стороны многоугольника M (не являющиеся сторонами P; возможно, что A1 = B1).
Обозначим C точку пересечения AA1
и BB1.
|
7. | Докажите, что многоугольники разбиения, лежащие внутри треугольника ABC, являются треугольниками.
| |
8. | Докажите, что если A1 и B1 не совпадают, то у M углы при вершинах A1 и
B1 равны по 120°.
| |
9. | Докажите, что если
A1 и B1 не совпадают,
то A1B1 — сторона M.
| |
10. | Докажите, что если среди хороших многоугольников найдётся пятиугольник, то M имеет не более 9 сторон (то есть n ≤ 9).
| |
11. | Докажите, что M имеет не более 12 сторон.
| |
12. | Приведите примеры M с числом сторон 3, 4, ..., 11, 12.
|
|
