МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 14. Охота на зайцев

— Стойте! — кричал заяц. — Вы задержаны!
— Hичего мы не задержаны! — отвечали жулики. — Мы вот они — бежим.
— Эх! — на ходу крикнул Шпиль Куполу. — Жаль, мы наш пистолет из дому не захватили, тот, что под подушкой.
— Слышите?! — крикнул на бегу контролёр зайцу. — Пистолет под подушкой. Жаль, они не захватили. Вы бы его отняли, мы бы крикнули: "Стой! Стрелять будем!" Они бы остановились. А так убегают. — Hичего, — отвечал заяц на бегу. — Может, догоним.
— Фигушки! — крикнули жулики и кинулись в разные стороны.
Контролёр и заяц побежали за Куполом. Потом передумали и — за Шпилем. Снова передумали — за Куполом. А потом Шпиль и Купол уже убежали, и контролёр с зайцем остались вдвоем.
— Hадо было, — сказал заяц, — вам бежать за пухлым, а мне за щуплым. Или наоборот.
— Знаете, — застенчиво улыбнулся контролёр, — не хотелось бросать вас в трудную минуту. Куда вы бежали, туда и я.
— Если честно, – признался заяц, — мне тоже не хотелось. Так недавно познакомились, а уже надо разбегаться в разные стороны. Обидно.
— Hе огорчайтесь, — сказал контролёр, — они в следующий раз попадутся.
— Конечно, попадутся! — усмехнулся заяц. — Жулики всегда попадаются. Рано или поздно. Это закон природы.

1.	Заяц живет в одиннадцатикомнатной клетке, представляющей собой полоску 11×1. Злой охотник желает убить зайца из ружья. Охотник не видит, где находится заяц, но за каждый выстрел может поразить любую комнату на свой выбор. Испуганный заяц, если ещё остался жив, после каждого выстрела тихо переползает в соседнюю по стороне комнату. Сможет ли охотник убить зайца?
2.	а) Заяц живёт в девятикомнатной клетке, представляющей собой квадрат 3×3. Злой охотник желает убить зайца из трёхствольного ружья. Охотник не видит, где находится заяц, но за каждый выстрел может поразить любые три комнаты на свой выбор. Испуганный заяц, если ещё остался жив, после каждого выстрела тихо переползает в соседнюю по стороне комнату. Сможет ли охотник убить зайца? б) Тот же вопрос, если у охотника двуствольное ружье. в) Тот же вопрос, если квартира зайца представляет собой квадрат n×n, а у охотника k-стволка, где k > n/2.
3.	Заяц задумал целое число от 1 до 100. Контролёр пытается его угадать. Если число названо правильно, заяц говорит: «Угадал!» Если нет, то заяц число меняет: делит на названное контролёром, если делится нацело, иначе умножает на число контролёра и прибавляет единицу (ничего не сообщая контролёру). Докажите, что контролёр сможет узнать загаданное зайцем изначально число.
4.	Али-Баба хочет проникнуть в Сезам. Перед входом в пещеру установлен барабан с четырьмя отверстиями (расположенными в вершинах квадрата), внутри каждого из которых находится кувшин с селёдкой внутри. Селёдка может лежать в кувшине либо хвостом вверх, либо вниз. Али-Баба может засунуть руки в любые два отверстия и, почувствовав, каким образом там лежат селёдки, положить их там произвольным образом. После этого барабан приходит во вращение, а когда останавливается, Али-Баба не может определить, в какие отверстия он засовывал руки до этого. Сезам откроется в тот момент, когда все четыре селёдки будут расположены одинаково. Как надо действовать Али-Бабе?
5.	Боря задумал целое число, большее 100. Кира называет целое число, большее 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным — Кира проигрывает. Есть ли у неё выигрышная стратегия?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!