МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Пять деревень расположены на прямой дороге. Где надо выкопать колодец, чтобы сумма расстояний от него до деревень была минимальной?
 

Докажите, что любой отрезок, лежащий внутри треугольника, короче его наибольшей стороны.
 

Треугольник целиком содержится в параллелограмме. Докажите, что его площадь не превышает половины площади параллелограмма.
 

На плоскости расположены 17 точек и прямая, сумма расстояний до которой от всех точек меньше, чем до любой другой прямой. Докажите, что прямая проходит через одну из точек.
 

Докажите, что сумма площадей всех треугольников, отсекаемых от выпуклого пятиугольника его диагоналями, больше площади пятиугольника, но меньше его удвоенной площади.
 

Докажите транснеравенство: если 0 ≤ a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n и 0 ≤ b₁ ≤ b₂ ≤ ... ≤ b_n, то для любой перестановки чисел второго набора b_i1, b_i2, ..., b_in выполнены неравенства

a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n ≥ a₁b_i1 + a₂b_i2 + ... + a_nb_in

Докажите методом варьирования неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (для положительных чисел): (a₁ + a₂ + ... + a_n)/n ≥ (a₁a₂ ... a_n)^1/n.
 

В парламенте у каждого депутата не более трёх врагов. Докажите, что парламент можно разбить на две палаты так, что у каждого депутата в его палате будет не более одного врага.
 

В графе n вершин. Степень каждой не превосходит 5.
а) Докажите, что его вершины можно покрасить в 2 цвета так, чтобы не более n рёбер соединяли вершины одного цвета.
б) Докажите, что его вершины можно покрасить в 3 цвета так, чтобы не более n/2 рёбер соединяли вершины одного цвета.