МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Острова А и Б расположены на реке в 10 км друг от друга. На что пароходу потребуется больше времени: проплыть от А до Б и обратно или проплыть 20 км по озеру?
 

В дугу AB вписана ломаная AMB, причём AM > MB. Докажите, что основание перпендикуляра KН, опущенного из середины K дуги AB на отрезок AM, делит ломаную пополам: AH = HM + MB.
 

В строго возрастающей последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с третьего, равно сумме каких-то двух предшествующих. Докажите, что в этой последовательности бесконечно много составных чисел.
 

Пусть различные числа в прямоугольной таблице n×n в каждой строке стоят в порядке возрастания. Докажите, что если в каждом столбце переставить их в порядке возрастания, то по-прежнему в каждой строке они будут стоять в порядке возрастания.
 

На плоскости дано n точек, причем не все они лежат на одной прямой. Докажите, что существует не менее (n – 1)(n – 2)/2 треугольников с вершинами в этих точках.
 

Построить треугольник по двум сторонам и расстоянию между основаниями высоты и медианы, опущенными на третью сторону.
 

Имеется 64 монеты, причём известно, что любые две монеты различаются по весу.
а) За 94 взвешивания на двухчашечных весах без гирь найдите самую тяжёлую и самую лёгкую монеты.
б) За 68 взвешиваний найдите две самые тяжёлые монеты.