МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Через точку М вне данной окружности провели секущую, которая пересекает окружность в точках А и В, и касательную МС (М — точка касания).
а) Докажите равенство MA · MB = MC².
Следствие. Число MA · MB не зависит от выбора секущей.
б) Выразите MA · MB через r — радиус окружности и d — расстояние от М до центра окружности.
в) Пусть точка М лежит внутри окружности, точки А и В — концы хорды, проходящей через точку М. Докажите, что и в этом случае произведение MA · MB не зависит от выбора хорды, и выразите MA · MB через r и d.

Чему равна степень точки, лежащей на окружности, относительно этой окружности?
 

Пусть w₁ и w₂ — две непересекающиеся окружности, ни одна из которых не расположена внутри другой.
а) Найдите хотя бы одну точку, степени которой относительно данных окружностей равны.
б) Найдите три такие точки (подсказка: воспользуйтесь результатом задачи 1).
 

Постройте окружность, касающуюся данной прямой и проходящую через две данные точки, лежащие по одну сторону от этой прямой.
 

Пусть d₁ и d₂ — расстояния от точки М до центров О₁ и О₂ окружностей w₁ и w₂. Докажите равенство d₁² - d₂² = p₁² - p₂², где p₁ и p₂ — проекции отрезков d₁ и d₂ на прямую O₁O₂.
Выведите отсюда, что если deg_w1M = deg_w2M, то и для любой другой точки N перпендикуляра к прямой O₁O₂, проведённого через точку М, справедливо равенство deg_w1N = deg_w1N.

Докажите, что радикальная ось двух неконцентрических окружностей — это прямая, перпендикулярная их линии центров.
 

Даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Докажите, что три прямые, являющие радикальными осями первой и второй, второй и третьей, третьей и первой окружностей, проходят через одну точку. Эту точку называют радикальным центром трёх данных окружностей.
 

Даны три попарно пересекающиеся окружности. Докажите, что три общие хорды пар данных окружностей проходят через одну точку.
 

Постройте с помощью циркуля и линейки радикальную ось двух
а) пересекающихся окружностей;
б) непересекающихся окружностей, ни одна из которых не лежит внутри другой;
в) окружностей, одна из которых лежит внутри другой.
 

На сторонах ВС и СА остроугольного треугольника АВС взяты две произвольные точки М и N соответственно. Докажите, что три общие хорды пар окружностей с диаметрами АМ, ВN, АВ пересекаются в ортоцентре треугольника АВС.