МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 3. Вокруг чисел

1.	Найдите все такие натуральные k, при которых число 2^k + 1 является квадратом натурального числа.
2.	Можно ли записать натуральное число и его квадрат, использовав каждую из десяти цифр 0, 1, 2, ..., 8, 9 ровно один раз?
3.	Петя умножает число 2002 на правильную дробь так, чтобы результат оказался снова натуральным числом. С результатом он проделывает то же самое, и так далее. Какое наибольшее количество умножений он сможет проделать?
4.	Известно, что f(x – y) = f(x)f(y) для любых x и y. Найдите все такие функции f.
5.	Числа от 1 до 2n переставили в некотором порядке: a₁, a₂, ..., a_2n. a) Какое максимальное значение может принимать выражение \|a₁ - a₂\| + \|a₂ - a₃\| + ... + \|a_2n–1 - a_2n\|? б) Сколько существует различных перестановок, для которых значение этого выражения будет максимальным?
6.	Множество T рациональных чисел назовём полным, если для каждой дроби ^p/_q из множества Т дроби ^p/_{(p + q)} и ^q/_{(p + q)} тоже содержатся в T. Найдите все такие положительные рациональные числа r, что любое полное множество, содержащее число r, содержит все рациональные числа между 0 и 1.
7.	ABCD — квадрат. Докажите, что для любой точки O плоскости верно неравенство OA + OB + OC > OD.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!