МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 11. Окрестность фигуры

1.	В квадрат со стороной 1 бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.
2.	Внутри квадрата площади S расположено 2003 фигуры, суммарная площадь которых больше 2002S. Докажите, что в этом квадрате найдётся точка, накрытая всеми 2003 фигурами.

Определение. Расстоянием от точки A до фигуры F называют наименьшее из расстояний (точнее, точную нижнюю грань расстояний) от точки А до точек фигуры F.

3.	Найдите расстояние от начала координат до квадрата с вершинами (³/₂;0), (⁵/₂;1), (³/₂;2), (¹/₂;1).

Определение. Окрестностью радиуса R (или R-окрестностью) плоской фигуры Ф называют множество всех точек плоскости, расстояние от которых до фигуры Ф меньше R.

4.	Докажите, что в круге радиуса 10 нельзя поместить 450 точек так, чтобы расстояние между каждыми двумя из них было больше 1.
5.	Дан выпуклый многоугольник площади S и периметра P. Найдите площадь его R-окрестности.
6.	В прямоугольник 20×25 бросили а) 120; б) 130 единичных квадратов. Докажите, что в этот прямоугольник ещё можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.
7.	Докажите, что в выпуклый четырёхугольник площади S и периметра P можно поместить круг радиуса ^S/_P.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!