МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 9. Сумма Минковского

Определение 1. Пусть даны две фигуры F и G (два множества точек на плоскости или в пространстве). Назовем полусуммой этих фигур множество всех середин отрезков, один конец которых принадлежит F, а другой — G. Обозначим это множество так: F*G.

Найдите полусумму F*G, если

1.	а) F – точка, G – прямоугольник; б) F – две точки, G – произвольное множество точек.
2.	а)F и G – два отрезка с общей вершиной; б) F – прямоугольник ABCD, G – отрезок AE.
3.	а) F и G – два отрезка; б) F – прямоугольник, G – отрезок.
4.	F и G – два прямоугольника с параллельными сторонами.
5.	F – прямоугольник, G – правильный треугольник с основанием на большей из сторон прямоугольника.
6.	F – ломаная, G – треугольник.
7.	F, G – два непараллельно расположенных прямоугольника.
8.	F – квадрат, G – круг.
9.	F, G – два круга разного радиуса.
10.	Пусть FG – полусумма фигур F и G, F' – фигура, полученная из F параллельным переносом. Докажите, что фигуры FG и F'*G равны.
11.	Докажите, что полусумма выпуклых фигур выпукла. (F называется выпуклой, если для любых точек X,Y, принадлежащих F, весь отрезок с концами X, Y содержится в F).

Определение 2. Суммой F+G фигур F и G называется фигура, "вдвое большая", чем F*G.

Определение 2'. Зафиксируем произвольную точку O. Суммой фигур F+G называется множество всех концов M векторов OM = OP + OQ, где P и Q – произвольные точки фигур F и G соответственно.

12.	Покажите, что определения 2 и 2' определяют одно и то же.
13.	Пусть F – выпуклый многоугольник, S – его площадь, P – периметр, K – круг радиуса 1. Найдите площадь F + K.
14.	Пусть F, G – прямоугольники с параллельными сторонами. Докажите, что S_F+G≥((S_F)^1/2+(S_G)^1/2)².
15.	Пусть l и m – горизонтальные прямые. l разбивает F на две части: верхнюю F_в и нижнюю F_н, аналогично m разбивает G на G_в и G_н. Докажите, что фигуры F_в+G_в и F_н+G_н не перекрываются (лежат в разных полуплоскостях относительно некоторой прямой).

Теорема Брунна - Минковского.
Неравенство S_F+G≥((S_F)^1/2+(S_G)^1/2)². выполнено для любых двух выпуклых фигур F и G.

16.	Изопериметрическая задача. Площадь любого выпуклого многоугольника с периметром P не больше, чем площадь круга с длиной окружности P. Указание: используя результат задачи 13, примените к сумме F+K неравенство Брунна-Минковского, где F – данный многоугольник, K – круг единичного радиуса.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!