МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 10 (3 декабря 2016 года). Оценка плюс пример

1.

Какое наименьшее число клеточек на доске 8×8 можно закрасить в чёрный цвет так, чтобы была хотя бы одна закрашенная клетка:

а)

в любом квадратике 2×2?

б)

в любом уголке из трёх клеточек?

2.

Три кота стащили и съели 60 кг барабульки. Потом они заметили, что вес рыбы, съеденной любыми двумя котами, отличается не более, чем на 3 кг. Какое наименьшее количество рыбы мог съесть кот, которому досталось меньше всего?

3.

Четыре кузнеца должны подковать 5 лошадей. Какое наименьшее время они затратят на работу, если каждый кузнец тратит на 1 подкову 5 минут?

4.

В пустой пруд пустили 30 щук, которые, за неимением другой еды, стали есть друг друга. Щука считается сытой, если она съела хотя бы трёх щук. Какое наибольшее количество щук могло насытиться, если съеденные сытые щуки при подсчёте тоже учитываются?

5.

По городу, улицы которого составляют разбитый на клетки квадрат 5×5 (см. картинку), ходит турист. Он хочет заснять на камеру каждую улицу. Найдите оптимальный по длине маршрут, по которому следует идти туристу.

6.

На какое наибольшее количество разных прямоугольников можно разрезать по линиям сетки:

а)

прямоугольник 5×6 клеточек;

б)

прямоугольник 12×6 клеточек;

в)

прямоугольник 2×36 клеточек?