МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 6 (29 октября 2016 года)

1.

Сложите квадрат, используя ровно 9 из представленных на рисунке прямоугольников.

2.

Внутри забора, представляющего собой замкнутую несамопересекающуюся ломаную, заперт тигр. На рисунке видна только часть забора (положение тигра показано крестиком). Нарисуйте, как мог бы выглядеть весь забор (забор может идти только по линиям сетки).

3.

Мэр хочет проложить по дорогам города, схема которого изображена на рисунке, кольцевой маршрут автобуса, проходящий через все остановки (они отмечены кружками) ровно по одному разу. Существует ли такой маршрут?

4.

Разрежьте а) правильный треугольник; б) квадрат на треугольники так, чтобы каждый из них граничил (имел более одной общей точки границы) ровно с тремя другими.

5.

Будем говорить, что две пирамиды соприкасаются гранями, если эти пирамиды не имеют общих внутренних точек и некоторая грань одной пирамиды пересекается с некоторой гранью другой пирамиды по многоугольнику. Можно ли расположить 8 пирамид в пространстве так, чтобы каждые две соприкасались гранями?

6.

На рисунке представлена схема мостов, соединяющих два берега реки и 6 островов (острова обозначены точками). В половодье каждый мост с вероятностью 50% может оказаться смыт потоком. Вероятность чего больше: того, что после спада воды будет можно перейти с одного берега на другой, или того, что будет нельзя?