МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 2 (1 когтября 2016)

1.

Ведущий загадал число от 1 до 12. Ему можно написать на бумажке сразу несколько вопросов про это число, на которые предполагается ответить «да» или «нет». После этого ведущий отвечает честно отвечает на вопросы, но записывает свои ответы в произвольном порядке. Сколько вопросов необходимо задать, чтобы гарантированно узнать задуманное число?

2.

На столе в виде треугольника выложены 28 монет одинакового размера, но, возможно, разного веса. Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которые попарно касаются друг друга, равна 10 г. Найдите суммарную массу всех 18 монет на границе треугольника.

3.

На доске написаны числа 1, 2, ..., 101. Разрешается стереть любые два числа и написать их разность. Можно ли после 100 таких операций получить ноль?

4.

Из произвольной точки основания равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной a, проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося четырёхугольника.

5.

В классе 27 учеников. Известно, что каждый из них ходит не более, чем в два кружка, при этом для каждой пары учеников найдется кружок, в который они ходят вместе. Докажите, что в одном из кружков занимается не менее 18 учеников.

6.

Можно ли разрезать квадрат 10×10 на полоски 1×4?

7.

Проведя наименьшее количество линий (окружностей и прямых с помощью циркуля и линейки), постройте прямую, проходящую через данную точку параллельно заданной прямой.