МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Руководители Андрей Леонидович Канунников и Степан Львович Кузнецов
2010/2011 учебный год

Натуральные числа 2 (27 ноября 2010 года)

1.
Докажите, что (n + 1)n − 1 кратно n² для каждого натурального n.
2.
Докажите, что если a и b — различные целые числа, то существует бесконечно много натуральных n таких, что числа a + n и b + n взаимно просты.
Определение. Числами Фибоначчи называются члены последовательности, заданной рекуррентно следующим образом: F1 = F2 = 1 и Fn = Fn − 1 + Fn − 2 для всех n ≥ 3.
3.
а)
Найдите (Fn, Fn + 1).
б)
Докажите, что (Fn, Fm) = F(n,m).
Обозначение: (a,b) — наибольший общий делитель чисел a и b.

4.
Теорема Хогатта. Докажите, что всякое натуральное число представимо в виде суммы различных членов последовательности Фибоначчи.
5.
Докажите, что не существует простых чисел p, q, r, s и t, для которых верно равенство p² + q² = r² + s² + t².
6.
Приведите пример бесконечной арифметической прогрессии, состоящей из различных натуральных чисел, ни один член которой не является ни суммой, ни разностью двух простых чисел.