МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Комбинаторика+ (16 октября 2010 года)

1.

На полке стоят 20 книг. Сколькими способами можно выбрать 5 книг, никакие две из которых не стоят рядом. А если на полке m книг, а выбрать надо n с тем же условием?

2.

За круглым столом сидят 20 рыцарей. Два рыцаря враждуют тогда и только тогда, когда они сидят рядом. Скольими способами можно выбрать 5 попарно не враждующих рыцарей? Тот же вопрос, если сидят m рыцарей, а выбрать надо n.

3.

На окружности отмечены 200 точек, в том числе точка A. Рассмотрим все выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше: содержащих или не содержащих точку A?

4.

Двое бросают монетку: первый 10 раз, второй — 11. Какова вероятность того, что у второго монета упадёт орлом большее число раз, чем у первого?

5.

Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2n клеток, начав и закончив в одной и той же точке. Сколькими способами она может это сделать?