МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Игры (2 октября 2010 года)

1.

В куче 20 камней. Два игрока по очереди берут из кучи от 1 до 3 камней. Кто из этих двух игроков может обеспечить себе победу?

2.

Алиса и Базилио играют в следующую игру. Из мешка, в котором ровно 1331 монета, они по очереди берут монеты по такому правилу: Алиса начинает и первым ходом берёт одну монету, а при каждом следующем ходе игрок берёт либо столько же монет, сколько было взято последним ходом, либо на одну больше. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш?

3.

На некотором поле шахматной доски стоит а) ладья; б) ферзь; в) конь; г) король. Каспаров и Карпов играют в следующую игру. Они по очереди, начиная с Каспарова, передвигают фигуру по шахматным правилам, причём ходить влево или вниз запрещается. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Где должна вначале стоять фигура, чтобы Каспаров мог обеспечить себе победу (укажите все благоприятные для Каспарова поля)?

4.

На шахматной доске 3×3 клетки стоят на крайних горизонталях по 3 белые и чёрные пешки. Пешки не имеют права на первый ход через клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход; сумевший провести пешку на дальний край доски выигрывает. У какого игрока есть выигрышная стратегия и какая?

5.

Игра «Ним». Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни по правилу: за один ход можно взять любое положительное число камней ровно из одной кучи. Проигрывает игрок, который не может сделать ход.

а)

Пусть кучек три, в первой 7 камней, во второй — 8, в третьей — 9. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

б)

Пусть кучек всего n и в них k₁, ..., k_n камней. Найти условие на k₁, ..., k_n, при котором первый игрок проигрывает при правильной игре второго.

6.

Докажите, что в крестиках-ноликах на бесконечной доске (чтобы выиграть, надо поставить пять крестиков или ноликов в ряд) у второго игрока нет выигрышной стратегии.

7.

Король и министр играют в игру — король ставит в любые две клетки бесконечного листа по крестику, а министр — один нолик. Сможет ли король поставить 10 крестиков в ряд?

8.

Лиса гоняется по плоскости за двумя зайцами. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке. Вначале лиса сидит в вершине C квадрата ABCD, а зайцы — в вершинах B и D. В вершине A находится заячья нора: заяц, попавший в неё раньше лисы, спасён. При этом лиса бегает по всей плоскости, а зайцы — только по лучам AB и AD. Максимальная скорость каждого зайца равна 1, а лисы — v.

а)

Найдите все v, при которых лиса сможет поймать хотя бы одного зайца.

б)

Найдите какое-нибудь v₀, при котором лиса сможет поймать обоих зайцев.

в)

Найдите все v, при которых лиса сможет поймать обоих зайцев.

9*

Даша и Маша по очереди ломают шоколадку 6×8 (начинает Даша, за каждый ход ломается любой кусок вдоль углубления). Проигрывает тот, кто сделал последний разлом. Кто выиграет?