МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Инвариант (25 сентября 2010 года)

1.

На шести ёлках сидят шесть чижей, на каждой ёлке — по чижу. Ёлки растут в ряд с интервалами в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает с одной ёлки на другую, то какой-то другой чиж перелетает на столько же метров в противоположном направлении. Могут ли все чижи собраться на одной ёлке? А если чижей и ёлок семь?

2.

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна черная клетка?

3.

На доске написаны числа 0, 1, 0, 0. За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них. Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными?

4.

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 2010. Разрешается стереть два любых числа и вместо них написать их разность. Можно ли добиться того, чтобы на доске осталось только число ноль?

5.

На квадратном поле размером 10×10 клеток девять клеток поросли бурьяном. После этого бурьян может распространиться на клетку, у которой не менее двух соседних клеток уже поросли бурьяном. Докажите, что тем не менее бурьян не сможет распространиться на все клетки.

6.

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий. Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

7.

На доске записаны несколько положительных чисел. За один ход разрешается любые два из них, скажем, a и b, заменить на числа a − ^b/₂ и b + ^a/₂. Можно ли через несколько таких ходов получить на доске исходные числа?

***

8.

Один преподаватель оставил на дверях всех кабинетов в школе записки следующего содержания: «Я в кабинете номер ...» и исчез в неизвестном направлении. (Разные записки могут содержать разную информацию.) Некоторый школьник начал поиски преподавателя, руководствуясь этими указаниями. Докажите, что с некоторого момента он начнёт двигаться по циклу.

9.

Докажите, что если длины всех сторон треугольника меньше 1, то его площадь меньше /4.

10.

На плоскости нарисовано пять различных окружностей. Известно, что любые четыре из них имеют общую точку. Докажите, что все пять окружностей проходят через одну точку.