МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Руководители Андрей Леонидович Канунников и Степан Львович Кузнецов
2010/2011 учебный год

Натуральные числа (13 ноября 2010 года)

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
Leopold Kronecker
Бог создал натуральные числа, всё остальное — создание человека.
Леопольд Кронекер

1.
Какой цифрой оканчивается число 9999999999 (операции возведения в степень, если не расставлены скобки, выполняются справа налево)?
2.
Найдите последнюю цифру числа 1³ + 2³ + … + 99³.
3.
Длины x и y катетов и z гипотенузы прямоугольного треугольника — натуральные числа. Докажите, что xy делится на 12.
4.
Докажите, что если натуральное число n имеет ровно s делителей, то произведение всех делителей числа n равно √ns.
5.
а)
Докажите теорему Софи Жермен: число n4 + 4 составное при всех натуральных n [кроме 1].
б)
Докажите, что число n4 + 4m4 составное при всех натуральных m и n [кроме m=1, n=1].
6.
Докажите, что среди чисел вида 3k − 1 (k — натуральное) бесконечно много простых.
Обобщением этого факта является теорема Дирихле: если числа a и d взаимно просты, то в арифметической прогрессии с первым членом a и разностью d (т. е. среди чисел вида dk + a) бесконечно много простых чисел.
7*.
Докажите, что при любом нечётном n число 1n + 2n + … + nn делится на 1 + 2 + … + n.
8*.
Докажите, что никакое простое число нельзя представить двумя различными способами в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.