МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Осенний гробарий (20 ноября 2010 года)

Нехотя вспомнишь и время былое, Вспомнишь и лица, давно позабытые.

И. С. Тургенев

25 сентября

1.

На квадратном поле размером 10×10 клеток девять клеток поросли бурьяном. После этого бурьян может распространиться на клетку, у которой не менее двух соседних клеток уже поросли бурьяном. Докажите, что тем не менее бурьян не сможет распространиться на все клетки.

9 октября

2.

а)

На столе лежат без наложений одинаковые монеты. Докажите, что найдётся монета, касающаяся не более, чем трёх других.

б)

На столе лежат без наложений произвольные монеты. Докажите, что найдётся монета, касающаяся не более, чем пяти других.

3.

а)

Внутри параллелограмма расположен треугольник. Докажите, что площадь треугольника не больше половины площади параллелограмма.

б)

Внутри треугольника расположен параллелограмм. Чему может быть равно отношение их площадей?

6 ноября

4.

Грани восьми единичных кубиков окрашены в чёрный и белый цвета так, что чёрных и белых граней поровну. Докажите, что из этих кубиков можно сложить куб 2×2×2, на поверхности которого чёрных и белых квадратиков поровну.

13 ноября

5.

Докажите, что среди чисел вида 4k − 1 (k — натуральное) бесконечно много простых.

6.

Докажите, что при любом нечётном n число 1ⁿ + 2ⁿ + … + nⁿ делится на 1 + 2 + … + n.