МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 7.

1.

В стране 4 города: A, B, C и D. Из A в B ведёт 5 дорог, из B в C - 4, из A в D - 2, а из D в C - 3. Сколькими способами можно проехать

а)

из A в C через B;

б)

из A в C через B или D?

2.

Что больше: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 или 2048? На сколько?

3.

а)

В гирлянде 3 разных лампочки - красная, синяя и зелёная, каждая может гореть или не гореть. Сколькими способами может гореть свет в гирлянде?

б)

А если в гирлянде 5 разных лампочек?

4.

Как, не имея линейки, отрезать от ленты длиной 144 см кусок длиной 27 см?

5.

В классе учатся 25 человек. Сколькими способами можно выбрать из них

а)

дежурного и старосту;

б)

двух дежурных;

в)

трёх дежурных?

6.

На шарообразной планете Зямлям более половины поверхности занимает суша. Докажите, что можно прорыть прямой туннель, проходящий через центр планеты и соединяющий сушу с сушей.

7.

Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: "В лесу 99\% сосен. Мы будем рубить только сосны. После рубки сосны будут составлять 98\% всех деревьев". Какую часть леса вырубит леспромхоз?

8.

Докажите, что среди учеников любого класса найдутся двое, имеющие одинаковое число друзей в этом классе (если, конечно, в этом классе не менее двух учеников).

9.

Нарисуйте на листе бумаги

а)

4 точки;

б)

5 точек;

в)

6 точек так, чтобы любые три из них были вершинами равнобедренного треугольника.

Дополнительные задачи

10.

Куб 3×3×3 требуется разрезать на 27 кубиков 1×1×1. Каким наименьшим количеством разрезов можно обойтись, если после каждого разреза разрешено перекладывать разрезанные части? (Каждый разрез должен быть параллелен какой-нибудь грани куба.)

11.

Из чисел 1, 2, ... , 50 выбрали 26 чисел. Докажите, что одно из них делится на другое.

12.

Из листа клетчатой бумаги размером 11×11 клеток вырезали (по клеткам) 15 квадратиков размером 2×2 клетки. Докажите, что можно вырезать ещё один такой квадратик.