МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 4.

1.

На сколько сумма всех чётных чисел первой сотни больше суммы всех её нечётных чисел?

2.

В треугольнике длина одной стороны - 3,8 см, другой - 0,6 см. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она выражается целым числом сантиметров.

3.

- А у нас в классе 25 человек, и каждый дружит ровно с 7 одноклассниками!
- Не может быть этого, - ответил приятелю Витя Иванов, победитель олимпиады. Почему?

4.

Стальную плитку размерами 17×10 см обвели карандашом на бумаге. Как найти центр получившегося прямоугольника с помощью только этой плитки и карандаша?

5.

а)

Можно ли в равенстве 1*2*3*4*5*6*7*8=0 заменить звездочки на знаки " + " или " − " так, чтобы оно стало верным?

б)

Тот же вопрос для равенства 1*2*3*4*5*6*7*8*9=0.

6.

Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник и квадрат, площади которых больше площади клетки

а)

в 2 раза;

б)

в 5 раз.

7.

Малыш и Карлсон по очереди кладут на круглый стол одинаковые круглые монеты так, чтобы они не накладывались друг на друга (монет много). Проигрывает тот, кому некуда положить монету. Начинает Карлсон. Как ему играть, чтобы выиграть?

8.

а)

Шеф секрет- ной службы составил инструкцию взаимной слежки для 7-ми своих агентов: агент 001 следит за тем, кто следит за агентом 002, агент 002 - за тем, кто следит за агентом 003, и т.д.; агент 007 следит за тем, кто следит за агентом 001. Удастся ли выполнить эту инструкцию?

б)

Можно ли выполнить подобную инструкцию для 8 агентов?

9.

Дайте разумное объяснение, почему вёдра делают не цилиндрическими, а скошенными?

Дополнительные задачи

10.

На крайней правой клетке доски 1× 20 стоит фишка. Два игрока по-очереди двигают эту фишку (вправо или влево) на любое число клеток, которое еще не встречалось при выполнении предыдущих ходов. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из играющих (начинающий или его противник) может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?

11.

Прямолинейный прут длиной 2 м разрезали на пять кусков, длиной не менее 17 см каждый. Докажите, что среди этих кусков найдутся три, из которых можно составить треугольник.

12*

B cтаде 101 корова, каждая весит целое число килограмм. Если увести любую одну корову, то оставшихся можно разделить на две части (по 50 коров в каждой) так, что суммарный вес коров первой части равен суммарному весу коров другой части. Докажите, что все коровы весят одинаково.