МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 6.

1.

За какое кратчайшее время можно поджарить с двух сторон 3 ломтика хлеба, если на сковороде умещаются только 2 ломтика, а на поджаривание ломтика с одной стороны требуется 1 минута? (Время на перевёртывание и перекладывание ломтиков не учитывать).

2.

В классе учится 25 учеников.

а)

Докажите, что найдутся два ученика, родившиеся в одном и том же месяце.

б)

Обязательно ли найдутся три таких ученика?

в)

А четыре таких ученика?

3.

а)

Как изменится площадь прямоугольника, если одну его сторону увеличить на 10\%, а другую уменьшить на 10\%?

б)

Тот же вопрос про периметр
прямоугольника.

4.

15 ребят собрали 100 орехов. Обязательно ли какие-то двое из них собрали поровну орехов?

5.

а)

В куче 25 спичек. Петя и Вася по очереди берут спички, начинает Петя. За ход можно взять 1 или 2 спички. Проигрывает тот, кто взял последнюю. Кто может обеспечить себе победу?

б)

А если тот, кто взял последнюю спичку, выигрывает?

6.

Из чисел 1, 2, ... , 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли среди них найдутся два числа, различающиеся на 1?

7.

Дан выпуклый четырёхугольник. Найдите внутри него точку, сумма расстояний от которой до вершин четырёхугольника наименьшая.

8.

На белом бумажном квадрате 4×4 отметили 15 чёрных точек. Докажите, что можно вырезать из этого квадрата квадрат 1×1, внутри которого не будет ни одной чёрной точки.

9.

На прямоугольном куске хлеба лежит кружок колбасы. Как разрезать (по прямой) этот бутерброд на две части, чтобы и хлеб и колбаса разделились поровну?

10.

Две деревни находятся по разные
стороны от реки, берега которой -
параллельные прямые. В каком
месте реки надо построить мост,
перпендикулярный берегам, чтобы длина пути из одной деревни в другую была наименьшей?

11.

Можно ли накрыть равносторонний треугольник двумя меньшими равносторонними треугольника-
ми?

Дополнительные задачи

12.

Ваня, Витя и Митя играют в настольный теннис. В каждой партии играют двое. Тот, кто не принимает участия в данной партии, в следующей игре играет с победителем (ничьих в теннисе не бывает). В результате Ваня сыграл 10 партий, а Витя - 21. Сколько партий сыграл Митя?

13.

Белая ладья преследует чёрного слона на доске размером

а)

3×10;

б)

3×1000 клеток (ходят по очереди по обычным правилам, начинают белые). Как играть ладье, чтобы взять слона?

14.

На клетчатой бумаге отмечено 5 любых вершин клеток. Докажите, что середина одного из отрезков, соединяющих какие-то две из этих точек, также будет вершиной клетки.