МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 3.

1.

Поезд длиною 18 м проезжает мимо столба за 9 секунд. Сколько времени ему понадобится, чтобы проехать мост длиною 36 м?

2.

Одиннадцать шестерёнок соединены по цепочке так, как показано на рисунке. Могут ли они вращаться одновременно?

3.

По углам квадратного бассейна стоят 4 столба. Можно ли расширить его, чтобы столбы остались на суше, площадь бассейна увеличилась в 2 раза, а форма осталась квадратной?

4.

Перед Вами стишок о мышке и кошке (слева)
и его перевод (построчный) на язык племени Ам--Ям (справа):

Мышка ночью пошла гулять. .......... Ам ту му ям,
Кошка ночью видит - мышка! ......... Ту ля бу ам,
Мышку кошка пошла поймать. ......... Гу ля ту ям.

Составьте по ним фрагмент русско-ам-ямского словаря.

5.

Десять гномов играли в шашки. Каждый сыграл с каждым по партии.

а)

Сколько партий сыграл каждый гном?

б)

Сколько всего было сыграно партий?

6.

а)

В левом нижнем углу шахматной доски 8×8 стоит ладья. Крокодил Гена и Чебурашка по очереди передвигают ладью либо вверх, либо вправо на любое число клеток. Выигрывает тот, кто поставит ладью в правый верхний угол. Начинает Гена. Кто может всегда выигрывать, и как ему надо играть?

б)

А если поставивший ладью в правый верхний угол проигрывает?

7.

Давным-давно барон Мюнхгаузен обнес свои владения забором и нарисовал на карте. Забор изображен несамопересекающейся замкнутой ломаной, внутри которой - владения барона. Барон забыл, входит ли в его владения деревня Гаузеновка. Он смог найти лишь обрывок карты, на который попали его замок, деревня Гаузеновка и часть забора, проходящая по этому участку. Выясните, входит ли деревня во владения барона.

Дополнительные задачи

8.

Петя и Вася играют в игру: есть кучка из 777 спичек, за ход разрешается брать 7 или 77 спичек. Ходят по очереди, начинает Петя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?

9.

а)

Нарисуйте замкнутую 6-звенную ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев.

б)

Может ли у ломаной с таким свойством быть 7 звеньев ?

10.

Улитка ползет из точки А с постоянной скоростью, поворачивая на 90 градусов в какую-нибудь сторону каждые 15 минут. Докажите, что она может вернуться в А только через целое число часов.

11.

Имеется много прямоугольников 2×1: обычных и с проведённой диагональю. Надо выбрать 18 прямоугольников и сложить из них квадрат 6×6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали. Каким наименьшим количеством обычных прямоугольников (без диагонали) можно обойтись?

12.

Коридор полностью покрыт несколькими прямоугольными дорожками, ширина которых равна ширине коридора.

а)

Докажите, что можно убрать несколько дорожек так, чтобы любой участок пола был покрыт, но не более чем двумя дорожками.

б)

Докажите, что можно убрать еще несколько дорожек так, чтобы оставшиеся не налегали друг на друга и покрывали не менее половины коридора.