МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Подсчёт двумя способами (26 октября 2013 г.)

1.

В конференции принимали участие 19 ученых. После конференции каждый ученый отправил 2 или 4 письма другим участникам. Могло ли случиться так, что каждый человек получил ровно 3 письма?

2.

Можно ли расставить числа в квадратной таблице 5×5 так, чтобы сумма чисел в каждой строке была больше 100, а в каждом столбце — меньше 100?

3.

У членов команды пиратского корабля есть треуголки, на углах которых висят кисточки: на одном — одна, на другом — две и на третьем — три. Каждый вечер пираты аккуратно складывают треуголки стопкой. Однажды один из пиратов, сложив так все треуголки, он насчитал с каждого угла по 25 кисточек и понял, что кто-то из пиратов потерял кисточку. Прав ли он?

4.

У каждого из 25 пятиклассников в 424 аудитории есть три воздушных шарика: один красный, один синий и один зелёный. Время от времени любой пятиклассник может поменяться одним из своих шариков с другим пятиклассником. Может ли случиться так, что у каждого пятиклассника окажутся шарики только какого-либо одного цвета?

5.

Артём, Катя и Аня играют в шахматы. Каждый сыграл по 10 партий.

а)

Сколько всего партий было сыграно.

б)

Могло ли быть так, что Артём сыграл с Катей больше партий, чем с Аней?

6.

Имеется несколько одинаковых квадратов, в вершинах каждого из которых написаны натуральные числа от 1 до 4. Квадраты сложили в стопку вершина к вершине. Может ли при этом оказаться, что суммы чисел при каждой из четырёх вершин стопки одинаковы и равны 2013?

7.

По окончании конкурса бальных танцев, участники (в беспорядке, мальчики и девочки) назвали число своих выступлений: 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6. Не ошибся ли кто-нибудь?

8.

Футбольный мяч состоит из 32 лоскутов: белых шестиугольников и черных пятиугольников. Каждый черный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый - с 3 белыми и 3 черными. Сколько лоскутов белого цвета?

9.

В стране Карабасии живут карабасы и барабасы. Каждый карабас дружит с 6 карабасами и 9 барабасами. Каждый барабас дружит с 10 карабасами и 7 барабасами. Кого в стране больше — карабасов или барабасов?