МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Руководители Фируза Исамитдиновна Мамедова и Александра Ефремовна Подгайц
2012/2013 учебный год

Версия для печати

Принцип Дирихле 2 (29.09.2012)

1.
а)
Фермер рассадил 5 кроликов по 4 клеткам. Докажите, что хотя бы в одну клетку попало не менее двух кроликов.
б)
Докажите, что если он рассадил 11 кроликов по 5 клеткам, то найдется клетка, в которой не менее трех кроликов.
в)
А можно ли сказать, что при рассаживании m кроликов по n клеткам найдется клетка, в которой не меньше m/n кроликов? Докажите.
2.
Известно, что у человека на голове не более 400000 волос. В Москве не менее 8 миллионов человек. Докажите, что найдутся 20 москвичей с одинаковым числом волос на голове.
3.
а)
Верно ли, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании?
б)
Тот же вопрос для компании из n человек.
4.
Докажите, что из любых семи натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на три. final:

***

1.
За победу в математической регате команда из 4 человек получила 10 конфет. Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их (каждому досталось целое число конфет). Определите, верны ли следующие утверждения:
а)
« кому-то досталось по крайней мере 2 конфеты »
б)
« кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты »
в)
« двум людям досталось по крайней мере две конфеты »
г)
« каждому досталась хотя бы одна конфета ».
2.
Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдутся несколько (или, быть может, одно) сумма которых делится на n.
3.
В классе 25 человек. Известно, что среди любых трех из них есть двое друзей. Докажите, что есть ученик, у которого не менее 12 друзей.
4.
Докажите, что у любого многогранника найдутся по крайней мере две грани, являющиеся многоугольниками с равным числом сторон.
5.
В клетках таблицы 3×3 расставлены числа − 1, 0, 1. Докажите, что какие-то две из 8 сумм по всем строкам, всем столбцам и двум главным диагоналям будут равны.
6.
Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность которых делится на 1987.
7.
В ковре размером 4×4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1×1 метр, не содержащий внутри себя дырок. (Дырки считаются точечными).
8.
Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке. Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).
9.
Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что по крайней, мере три из этих прямых проходят через одну точку.
10.
Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нем отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попарно непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше 0,5.
11.
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено пять точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5.
12.
Над квадратным катком нужно повесить четыре лампы так, чтобы они его полностью освещали. На какой наименьшей высоте нужно повесить лампы, если каждая лампа освещает круг радиуса, равного высоте, на которой она висит?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS